Fiche 53 • Test des rangs signés de Wi/coxon
Pour un seuil donné Il', une table de la loi normale centrée-réduite nous fo urnie une valeur
critique Ca celle que ll'7{ 0 (-ca < Z,,
{
si Z,,(obs) i!) - ca: +ca( 1f 1 est vraie,
si Z,,(obs) E) - ca: +ca( 'Ho est vraie.
1. Dans le premier cas, lorsque n ous rejetons "Ho, n ous décidons que "H 1 est vraie avec un risque d'erreur de première espèce au plus égal à < f . En effet, le niveau de signification réel du test est égal à
2P.Ho ( W; -' W 4 ) qui est généralement strictement inférieur à < f.
2. Lorsque nous conservons "Ho, c'est avec un risque d'erreur de deuxième espèce {3 qui est difficile à
évaluer.
3. PRÉSENCE D'EX .IEQUO PARMI LES VALEURS ABSOLUES: MÉTHODE DES RANGS
MOYENS
Cette méthode est la plus utilisée, en particulier dans la plupart des logiciels statistiques.
Les observations x 1 , ••• , x,, peuvent présenter des ex requo eca forriori leurs valeurs absol ues.
a) Statistique du test
En associant à la variable X; son rang moyen R'f• dans le classement des valeurs absolues et en
sommant cous les rangs pour lesquels X;> 0 nous obtenons la statistique :
Remarque
1 .; i"' Il
X;> 0
R'!"' ' .
Le symbole •est là pour rappeler que n ous sommes dans le cas où il ya des ex a-quo. Les valeurs absolues
observées iK 1 ~ _ ••• IKnl sont ord onnées puis regroupées en classes d'ex a-quo, Co pour la première classe
qui est constituée des nombres IK;I nuls, s'il en existe, -et <1· 1 ' i ' h pour les autres nombres . Certaines
classes Ci peuvent comporter un seul élément. si cet -élément n'a pas d'ex a-quo. Notons c1j le nombre
d'ex a-quo de la classe Cr Nous avons :
h
do+ L:dj=n.
I--1
Propriétés: Lorsque l' hypothèsenulle?--l(>est vraie, la variable aléatoire w,;• a les crois propriétés suivantes.
1. B(w,;• ) = m• = (11(11 + 1) -ti
V ar(w,;· ) = (u•)2 = (11(11+ 1)(211+ l)-l'i(i(d 0 + 1)(2d 0 + 1))/24
3. Pour 11 > 15, nous admettrons que la variable aléatoire w:~:-'"' suie approximativement la
loi normale centrée-réduite N(O : 1) où m• et u • one été définis ci-dessus.
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Pour un seuil donné Il', une table de la loi normale centrée-réduite nous fo urnie une valeur
critique Ca celle que ll'7{ 0 (-ca < Z,,
{
si Z,,(obs) i!) - ca: +ca( 1f 1 est vraie,
si Z,,(obs) E) - ca: +ca( 'Ho est vraie.
1. Dans le premier cas, lorsque n ous rejetons "Ho, n ous décidons que "H 1 est vraie avec un risque d'erreur de première espèce au plus égal à < f . En effet, le niveau de signification réel du test est égal à
2P.Ho ( W; -' W 4 ) qui est généralement strictement inférieur à < f.
2. Lorsque nous conservons "Ho, c'est avec un risque d'erreur de deuxième espèce {3 qui est difficile à
évaluer.
3. PRÉSENCE D'EX .IEQUO PARMI LES VALEURS ABSOLUES: MÉTHODE DES RANGS
MOYENS
Cette méthode est la plus utilisée, en particulier dans la plupart des logiciels statistiques.
Les observations x 1 , ••• , x,, peuvent présenter des ex requo eca forriori leurs valeurs absol ues.
a) Statistique du test
En associant à la variable X; son rang moyen R'f• dans le classement des valeurs absolues et en
sommant cous les rangs pour lesquels X;> 0 nous obtenons la statistique :
Remarque
1 .; i"' Il
X;> 0
R'!"' ' .
Le symbole •est là pour rappeler que n ous sommes dans le cas où il ya des ex a-quo. Les valeurs absolues
observées iK 1 ~ _ ••• IKnl sont ord onnées puis regroupées en classes d'ex a-quo, Co pour la première classe
qui est constituée des nombres IK;I nuls, s'il en existe, -et <1· 1 ' i ' h pour les autres nombres . Certaines
classes Ci peuvent comporter un seul élément. si cet -élément n'a pas d'ex a-quo. Notons c1j le nombre
d'ex a-quo de la classe Cr Nous avons :
h
do+ L:dj=n.
I--1
Propriétés: Lorsque l' hypothèsenulle?--l(>est vraie, la variable aléatoire w,;• a les crois propriétés suivantes.
1. B(w,;• ) = m• = (11(11 + 1) -ti
V ar(w,;· ) = (u•)2 = (11(11+ 1)(211+ l)-l'i(i(d 0 + 1)(2d 0 + 1))/24
3. Pour 11 > 15, nous admettrons que la variable aléatoire w:~:-'"' suie approximativement la
loi normale centrée-réduite N(O : 1) où m• et u • one été définis ci-dessus.
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