53 Test des rangs signés de Wilcoxon
"1o tscléS ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Test des rangs sig n és de W ilcoxon, test no n paramétrique.
Soit un échantillon aléatoire (X 1 , X 2 , ••• , X,,) de loi parente une loi continue de fonction de répartition F x dont la médiane est notée m, et la moyenneµ.
1. HYPOTHÈSES TESTÉES
Le test des rangs s ign és de Wilroxon permet de ttester l' hypothèse suivante:
'Ho : La loi continue Fx est symétrique par rapport à l'origine
contre
1f 1 : La loi continue Fx n'est pas symétriq ue par rapport à lorigine.
Ici l'origine c'est O.
Remarques
1. Nous pou vons remp lacer la valeur 0 dans les hypothèses ci-dessus par une valeur f ixée à l'avance.,
comme par exem ple : 1, 2 ou ,.r.
2. Si nou s savon s qu e la loi continu e Fx est symétri q u e., (pour le savoir, par exempl e., t racer u n histogramme) alors le test des rangs signés de W il coxon permet de tester l' hypothèse null e sui vante :
l' Ho µ=01
contre
l' H1 :µt O I
ce qui permet de s'intéresser à la moyen neµ de la lo i continu e Fx. Nou s rappelons, qu e dan s le cas
d'une loi sym étriqu e, la moyen ne et la méd iane sont confon du es.
3. Nous introd ui sons l'échantillon Y 1 , • ••• Yn. avec Y; = X; - 1JO où µ 0 est un n om bre réel non nul, pour
tester l'hypothèse :
contre
l' H, : 11 *"•·I
4. La form ul ation de ce test est la form ul ation d'un test b il atéral. Nous pourrions envisager d'étu dier
les deux tests unil atéraux correspondants.
2. ABSENCE D'EX .IEQUO PARMI LES VALEURS ABSOLUES
Soit (x,, ... , ..-,,) une réalisation de l'échantillon précédent. À chaque X; nous attribuons le r an g rf
q ui correspond au rang de lx1 I lorsq ue les /1 réalisations sont classées par ordre croissant de leurs
valeurs absol ues. Le rang rf est la réalisation d' une variable aléatoire Rf.
Remarque
La lettre a est là pour rappeler qu e n ou s travaillons sur les valeurs absolues des x;.
142
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Test des rangs sig n és de W ilcoxon, test no n paramétrique.
Soit un échantillon aléatoire (X 1 , X 2 , ••• , X,,) de loi parente une loi continue de fonction de répartition F x dont la médiane est notée m, et la moyenneµ.
1. HYPOTHÈSES TESTÉES
Le test des rangs s ign és de Wilroxon permet de ttester l' hypothèse suivante:
'Ho : La loi continue Fx est symétrique par rapport à l'origine
contre
1f 1 : La loi continue Fx n'est pas symétriq ue par rapport à lorigine.
Ici l'origine c'est O.
Remarques
1. Nous pou vons remp lacer la valeur 0 dans les hypothèses ci-dessus par une valeur f ixée à l'avance.,
comme par exem ple : 1, 2 ou ,.r.
2. Si nou s savon s qu e la loi continu e Fx est symétri q u e., (pour le savoir, par exempl e., t racer u n histogramme) alors le test des rangs signés de W il coxon permet de tester l' hypothèse null e sui vante :
l' Ho µ=01
contre
l' H1 :µt O I
ce qui permet de s'intéresser à la moyen neµ de la lo i continu e Fx. Nou s rappelons, qu e dan s le cas
d'une loi sym étriqu e, la moyen ne et la méd iane sont confon du es.
3. Nous introd ui sons l'échantillon Y 1 , • ••• Yn. avec Y; = X; - 1JO où µ 0 est un n om bre réel non nul, pour
tester l'hypothèse :
contre
l' H, : 11 *"•·I
4. La form ul ation de ce test est la form ul ation d'un test b il atéral. Nous pourrions envisager d'étu dier
les deux tests unil atéraux correspondants.
2. ABSENCE D'EX .IEQUO PARMI LES VALEURS ABSOLUES
Soit (x,, ... , ..-,,) une réalisation de l'échantillon précédent. À chaque X; nous attribuons le r an g rf
q ui correspond au rang de lx1 I lorsq ue les /1 réalisations sont classées par ordre croissant de leurs
valeurs absol ues. Le rang rf est la réalisation d' une variable aléatoire Rf.
Remarque
La lettre a est là pour rappeler qu e n ou s travaillons sur les valeurs absolues des x;.
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