Fiche 52 • Test des signes
Remarque
La loi de la statistiq ue S:, ne dépen d pas de la loi conti nue Fx.
Propri étés : L orsque l'hypothèse nulle 'Hi> est vraie, la variable aléatoire S; a les trois propriétés
suivantes.
1. s,; suit la loi binomiale ' .13(11; f') de paramètres 11et1' = 1/2. Cette distribution binomiale est
symétrique.
2. B(s; ) =111J=11/2et Var(s; )=11p(l - 1') =11/4.
3. Pour /1 grand (11 ;;. 40), nous utiliserons l'approximation normale avec correction de conti -
nuité:
(
+
)
( +
)
(2k - Il + 1 )
IP1-1 0 S,, <. k = IP1-1 0 S,, ;;. /1 - k =
Y,,
où est la fonction de répartition de la loi normale centrée-réduite N(O; 1) et k est un
nombre entier compris entre 0 et 11.
Remarque
La p résen ce du « 1 »dans l'expression de est la correction de continu ité.
b) Règle de décision et conclusion du test
• Premier cas: La taille /1 est inférieure à 4 0. Pour un seuil donné a, nous c herchons, dans des
tables de la loi binomiale ' .13(11; /J), le plus grand nombre entier ka tel q ue IP1-1 0 (S; <.ka) <. a/2.
Alors nous décidons :
j si S ;(obs) i!)ka; /1 - k.,( 1{ 1 est vraie,
l si S ;Cobs) E)ka; /1 - k.,( 'Hi> est vraie.
• Second cas: La taille /1 est supérieure ou égale à 4 0. La statistiques; suit approximativement
la loi normaleN(11/ 2; Y,,/2) et nous utilisons alors la statistiq ue suivante q ui tient compte de la
correction
Z,, = -"--~-{ïi
Pour un seuil donné a, une table de la loi normale centrée-réduite nous fo urnit une valeur
critiq ue Ca telle que IP' Ho (-Ca< Z,,
J si Z,,(obs) i!) - Ca ; +ca( 1{ 1 est vraie,
l si Z,,(obs) E) - Ca ; +ca( 'Hi> est vraie.
1. Dan s le p remier cas (n < 40), le niveau de signif ic.ation réel du test est égal à 2PIH 0 (S; -' ~) qui est
généralement strictement inférieur à < f.
2. Dans le cas où il y a des ex œquo dans les données, le protocole ne change pas.
3. PRÉSENCE D'OBSERVATIONS NULLES PARMI LES DONNÉES
Pourtraiter ce problème la méthode recommandée est la suivante : les éliminer et se ramener à un
jeu de données de taille 11', où 11' est le nombre d'observations non nulles, puis le traiter comme
ci-dessus.
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Remarque
La loi de la statistiq ue S:, ne dépen d pas de la loi conti nue Fx.
Propri étés : L orsque l'hypothèse nulle 'Hi> est vraie, la variable aléatoire S; a les trois propriétés
suivantes.
1. s,; suit la loi binomiale ' .13(11; f') de paramètres 11et1' = 1/2. Cette distribution binomiale est
symétrique.
2. B(s; ) =111J=11/2et Var(s; )=11p(l - 1') =11/4.
3. Pour /1 grand (11 ;;. 40), nous utiliserons l'approximation normale avec correction de conti -
nuité:
(
+
)
( +
)
(2k - Il + 1 )
IP1-1 0 S,, <. k = IP1-1 0 S,, ;;. /1 - k =
Y,,
où est la fonction de répartition de la loi normale centrée-réduite N(O; 1) et k est un
nombre entier compris entre 0 et 11.
Remarque
La p résen ce du « 1 »dans l'expression de est la correction de continu ité.
b) Règle de décision et conclusion du test
• Premier cas: La taille /1 est inférieure à 4 0. Pour un seuil donné a, nous c herchons, dans des
tables de la loi binomiale ' .13(11; /J), le plus grand nombre entier ka tel q ue IP1-1 0 (S; <.ka) <. a/2.
Alors nous décidons :
j si S ;(obs) i!)ka; /1 - k.,( 1{ 1 est vraie,
l si S ;Cobs) E)ka; /1 - k.,( 'Hi> est vraie.
• Second cas: La taille /1 est supérieure ou égale à 4 0. La statistiques; suit approximativement
la loi normaleN(11/ 2; Y,,/2) et nous utilisons alors la statistiq ue suivante q ui tient compte de la
correction
Z,, = -"--~-{ïi
Pour un seuil donné a, une table de la loi normale centrée-réduite nous fo urnit une valeur
critiq ue Ca telle que IP' Ho (-Ca< Z,,
J si Z,,(obs) i!) - Ca ; +ca( 1{ 1 est vraie,
l si Z,,(obs) E) - Ca ; +ca( 'Hi> est vraie.
1. Dan s le p remier cas (n < 40), le niveau de signif ic.ation réel du test est égal à 2PIH 0 (S; -' ~) qui est
généralement strictement inférieur à < f.
2. Dans le cas où il y a des ex œquo dans les données, le protocole ne change pas.
3. PRÉSENCE D'OBSERVATIONS NULLES PARMI LES DONNÉES
Pourtraiter ce problème la méthode recommandée est la suivante : les éliminer et se ramener à un
jeu de données de taille 11', où 11' est le nombre d'observations non nulles, puis le traiter comme
ci-dessus.
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