50 Introduction à la théorie des tests
d•hypothèses
Mots clés --------------------------------~
Hypothèses, risque d'erreur de première espèce., risque d'erreur de deuxième espèce, puissance -d'un t est,
test bilatéral. test unilatéral. statistique de test, région cri tique, région d'acceptation. décision à l'aide
d'une valeur crit ique ou d'une p -valeur, ch oix d'un t est.
1. INTRODUCTI ON À LA NOTION DE TESTS
a) Hypothèses et erreurs
Définition : Un test est un mécanisme qui permet de trancher encre deux hypothèses à la vue des
résultats d'un échantillon, en quantifiant le risque associé à la décision prise.
Soie 'Ho e c 'H 1 deux hypothèses, donc une e c une seule est vraie. 'Ho joue le plus souvent un
rôle prédominant par rapport à 1f 1 • Cela est la conséquence du fai t q ue 'Hi> est l' hypothèse de
référence, aLL ssi appelée hypothèse nulle, alors que 1{ 1 est l' hypothèse alterna tive.
Exemple
Nous pouvons avoir comme hypothèse nulle : "Ho : µ = l'O et dans ce cas, une hypothèse a lternative
pourrait être "H1 : µ t µo.
La décision dl' un test consiste à choisir encre 'Hi> e c 1f 1 • li y a donc quatre cas possibles qui sont
détaillés dans le tableau ci-dessous :
'Ho vraie 'H1 vraie
'Ho décidée
1- (l'
/3
'H1 décidée
(Y
1 -/3
où a et fJ son c les risques d 'erreur d e première et de d euxième espèce.
Définition : L'erreur d e première espèce est le fait de décider q ue l' hypothèse alternative 1{ 1
est vraie alors qu 'en réalité, c'est l 'hypochèse nulle 'Hi> qui est vraie. Le risque d 'erreur associé
à cette décision est noté généralement Il'. li s'agi t donc de la probabilité de décider à tort q ue
I' h ypochèse alternative 1{ 1 est vraie.
Définition : L'erreur d e d euxième espèce est le fait de décider que l' hypothèse nulle?-1(> est vraie
alors qu'en réalité, c'est l' hypothèse alternative '}{ 1 qui est vraie. Le risque d 'erreur associé
à cette décision est noté généralement /J. li s'agi c donc de la probabilité de décider à tort q ue
l' hypothèse nulle 1{ 0 soie vraie.
La situation idéale serait que ces deux erreurs soie ne nul les mais œ n'est pa• possible. Pi.re encore,
ces deux erreurs sont antagonistes. En effet, plus a est grande (respectivement petite), plus fJ est
petite (respec tivement grande).
Depuis les travaux de Neyman ec Pearson, l'erreur de première espèce est limitée à un niveau die
niveau de s ig nificativité. Les valeurs les plus courantes pour Il' sont 10 %, 5 % ou 1 % . Le fait
d'imposer Il' faible conduit à une règle de décision plus stricte. En effet, dans ce cas, la décision
consiste à abandonner'Ht> dans des cas rarissimes, ec à conserver, plus souvent, à tort'Ho.
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d•hypothèses
Mots clés --------------------------------~
Hypothèses, risque d'erreur de première espèce., risque d'erreur de deuxième espèce, puissance -d'un t est,
test bilatéral. test unilatéral. statistique de test, région cri tique, région d'acceptation. décision à l'aide
d'une valeur crit ique ou d'une p -valeur, ch oix d'un t est.
1. INTRODUCTI ON À LA NOTION DE TESTS
a) Hypothèses et erreurs
Définition : Un test est un mécanisme qui permet de trancher encre deux hypothèses à la vue des
résultats d'un échantillon, en quantifiant le risque associé à la décision prise.
Soie 'Ho e c 'H 1 deux hypothèses, donc une e c une seule est vraie. 'Ho joue le plus souvent un
rôle prédominant par rapport à 1f 1 • Cela est la conséquence du fai t q ue 'Hi> est l' hypothèse de
référence, aLL ssi appelée hypothèse nulle, alors que 1{ 1 est l' hypothèse alterna tive.
Exemple
Nous pouvons avoir comme hypothèse nulle : "Ho : µ = l'O et dans ce cas, une hypothèse a lternative
pourrait être "H1 : µ t µo.
La décision dl' un test consiste à choisir encre 'Hi> e c 1f 1 • li y a donc quatre cas possibles qui sont
détaillés dans le tableau ci-dessous :
'Ho vraie 'H1 vraie
'Ho décidée
1- (l'
/3
'H1 décidée
(Y
1 -/3
où a et fJ son c les risques d 'erreur d e première et de d euxième espèce.
Définition : L'erreur d e première espèce est le fait de décider q ue l' hypothèse alternative 1{ 1
est vraie alors qu 'en réalité, c'est l 'hypochèse nulle 'Hi> qui est vraie. Le risque d 'erreur associé
à cette décision est noté généralement Il'. li s'agi t donc de la probabilité de décider à tort q ue
I' h ypochèse alternative 1{ 1 est vraie.
Définition : L'erreur d e d euxième espèce est le fait de décider que l' hypothèse nulle?-1(> est vraie
alors qu'en réalité, c'est l' hypothèse alternative '}{ 1 qui est vraie. Le risque d 'erreur associé
à cette décision est noté généralement /J. li s'agi c donc de la probabilité de décider à tort q ue
l' hypothèse nulle 1{ 0 soie vraie.
La situation idéale serait que ces deux erreurs soie ne nul les mais œ n'est pa• possible. Pi.re encore,
ces deux erreurs sont antagonistes. En effet, plus a est grande (respectivement petite), plus fJ est
petite (respec tivement grande).
Depuis les travaux de Neyman ec Pearson, l'erreur de première espèce est limitée à un niveau die
niveau de s ig nificativité. Les valeurs les plus courantes pour Il' sont 10 %, 5 % ou 1 % . Le fait
d'imposer Il' faible conduit à une règle de décision plus stricte. En effet, dans ce cas, la décision
consiste à abandonner'Ht> dans des cas rarissimes, ec à conserver, plus souvent, à tort'Ho.
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