Fiche 49 • Intervalles de confiance pour un coefficient de corrélation linéaire
L'étude des propriétés de cet estimateur est plus complexe puisqu 'il s'agit d'un rapport de variables aléatoires qui ne sont pas indépendantes. Il s'agit d'un estimateur biaisé et convergent
dep(X, Y) :
B(Pêx:Yl) = p(X, Y) - pl.X, Y)(l2~1pl.X, Y)2)
V (
r.;--, X ' l) ( 1 - pl.X, Y)2)2 ( 1 )
ar Pl-', 1 =
+ o - ,
JJ
JJ
où o ( l/11) est une fonction qui tend vers 0 lorsque /1 tend vers +oo plus vite que l/11.
Propriété : La distribution asymptotique de la variable aléatoire VïiW.Yl - pl.X, Y)) est la loi
normale N ( O; ( 1 - pl.X, Y) 2 n.
Rema rque
Ce résultat n'est pas assez précis et nous ne l'utiliserons que si nous ne pouvons pas faire autrement et
si la taille de l'échant ill on vérifie la condition suivante : n > 30.
Voici un intervalle de confiance ', ba~é sur la transformation de Fisher, pour p de niveau approximatif ( 1 - a) % plus précis :
[
(
"1 -&/2 )
(
"1 -&/2 ) ]
tanh Z(obs) - _ ~ , tanh Z(obs) + _ ~
v(11 - 3)
v(11 - 3)
où Z(obs) = tanh1 (p(obs)), tanh1 (x) = ~ln (: ~ :;} tanh(x)
quantile d'ordre 1 - a/2 pour la loi normale centrée-réduite.
exp(2x) - 1
-~--- et "i -a/2 est le
exp(2x) + 1
1. Il exi. i:te d 'autres transform atio ns pour o btenir d es intei·\r.alles de confiance pour p(X. Y). par exeinpl.e l'approxi4
.natio n de Rube n q ui semble être plus préci. i:e ou i. i: encore plll i; complexe q ue celle de FLiiher. N ous poU\ 1 o ns par
exemple 01oinre:r q ue. q uelq ue soi1 la valeur d u coetocient d e corrélation p( ,X. Y). la \ 1 ariable aléato ire (p('XY} -
p( ,X. Y)) ,1(11 - 2 )/ [(I - RlXI - p(X. Y)l>l sui1 approxima1iven:1en1 la lo i d e Student à /1 - 2 degrés de 1 ibei1é 1(11 - 2 ).
Nous retJ' Ouvons le résull 133