49 Intervalles de confiance pour un
coefficient de corrélation linéaire
Mots clés --------------------------------~
f oefficient de corrélation linéaire, intervalle de confiance d'un coefficient de corrélation linéaire.
1. COEFFICIENT DE CORRÉLATION LINÉAIRE SIMPLE
Le coefficient de corrélation linéaire p!,X, Y) mesure le degré d'association linéaire encre deux
variables aléatoires X ec Y :
,,, X Y) = C ov(X, Y)
f'\ '
O'(X)O'(Y)'
où C ov(X, Y) est définie Fiche 13.
L'encadrement suivant est toujours vrai
- 1 ,_ p(X, Y) ,_ 1.
Lorsque pl,X, Y) = 0, les denx variables aléatoires X ec Y sont dites non corrélées. L'indépendance impliq ue toujours l'absence de corrélation. Attention, pour deux variables aléatoires, ne
pas être corrélées ne signifie pa~ généralement être indépendantes. Deux exceptions où l'absence
de corrélation et l'indépendance sont éq uivalentes : les couples (X, Y) qui suivent une loi normale
à deux dimensions ec les couples de variables de Bernoulli.
Exemple
Prenons X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée-reduite N(O; 1) et Y = X 2 , nous savons
alors que Y suit la loi du x 2 à un degré de liberté x 2 (1). Ainsi les propriétés classiques d'une loi du x2
(voir Fi che 28) impliquent que E(Y) = 1 et Var (Y) = 2 . Remarquons que nous ne sommes donc pas dans
le cas qui sera développé plus tard où le couple (X. Y) suit une loi normale bidimensionnelle. Nous avons
alors :
Cov(X. Y) E{ 2 - 1J)
p(X. Y) = - - - = -'--==~-'u (X)u ( Y)
.j( 1 x 2)
= ~E (x' - x ) = ~ {E (x') - E (X))= 0 - 0 = o.
car X suit une loi normale centrée donc symétrique par rapport à O. Pourtant il est clair que les deux
variables aléatoires X et Y = X 2 ne sont pas indépendantes !
Il faut donc touj ours garder en mémoire que le coefficient de corrélation linéaire ne mesure que le degré
d'association linéaire entre deux variables aléatoires.
2. ESTIMATION ET INTERVALLE DE CONFIANCE
Nous allons uciliser l 'estimaceur pCX.-Y) du coefficient de corrélation linéaire p(X, Y) défini par:
1
"
-L;[(X;- X,,) X (Y;-Y ,,)]
Il - ( i= I
pCX.-Y) = - - - - - = = = - - -
~
.
.I;(X; X Y ;) - X,, X Y,,
i= I
où X,, est la moyenne des X; ec Y. est la moyenne 132