48 lnterva l les de confiance
pour une proportion
Mots clés --------------------------------~
Intervalle de confian ce de Clopper-Pearson pour une proportion, intervalle de confiance de W ilson pour
une proportion. intervall e de con fiance de Wald pour une proportion.
1. PRINCIPE DE CONSTRUCTION
Nous souhaitons construire un intervalle de confiance pour une proportion !CA d'individus de la
population qui possèdent un certain caractère A. Pour estimer trA, nous allons nous servir de
!'estimateur n,,. A, qui a été défini auparavant à Fiche 43, à partir du moment où nous faisons
l' hypothèse q ue le tirage est aléatoire avec remise, ce qui correspond à une population infinie.
D'autre part, nous pouvons montrer que1iirn.A suit la loi binomiale de paramètres /1 et tr 11 • À partir
de ce résultat, nous pouvons construire un incerval le de confiance pour trA2. LES DIFFÉRENTES MÉTHODES DE CONSTRUCTION
Les trois méthodes pour construire un intervalle de confiance pour une proportion trA q ue nous
rencontrerons le pl us souvent sont:
1. la m éthode exacte ou encore appelée la m éthode de Clopper-Pearson q ui maintenant est
réalisable avec la pl upart des logiciels de statistique:
2. la méthode dn score ou encore appelée la m éthode de ' Wil~on ou encore la mé thode de
l'ellipse:
3. la m éthode a~ymptotiqne ou encore appelée la méthode de Wa ld .
Des études statistiq ues ont montré q ue, parmi ces trois méthodes, la méthode à privilégier est la
m éthode dn :score. Néanmoins, la méthode de Wald reste très utilisée et présentée dans de nombreux manuels alors qu 'elle ne permet généralement pas d'obtenir des intervalles de confiance de
q ualité convenable.
a) Intervalle de confiance par la méthode du score ou la méthode de Wilson
L'intervalle de confiance pour la proportion !CA au niveau de confiance ( 1 - a) est égal à :
_
1 ?
:ir,,.A(obs)( 1 - :ir,,.A(obs)) 11 i-012
tr,,.A(obs) + :z;;u; ...., 12 - "1-012 X ·
/1
+ 4,T
1 ?
1 + ~"Ï-a-/:2
-
1 ?
" • .A(obs) + 2;;"Ï-o/2 + 11 1....,12 x
:ir,,11(obs)(I - :ir,,.A(obs))
11 i ....,12
- - - - - ,- , - - - - + -4 -,- ,2< ------------~I_ ? ___________ _
1 + ;;"ï~12
où 11 1 ....,12 est le q uantile d'ordre 1 - a-/ 2 pour la loi normale centrée-réduite.
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pour une proportion
Mots clés --------------------------------~
Intervalle de confian ce de Clopper-Pearson pour une proportion, intervalle de confiance de W ilson pour
une proportion. intervall e de con fiance de Wald pour une proportion.
1. PRINCIPE DE CONSTRUCTION
Nous souhaitons construire un intervalle de confiance pour une proportion !CA d'individus de la
population qui possèdent un certain caractère A. Pour estimer trA, nous allons nous servir de
!'estimateur n,,. A, qui a été défini auparavant à Fiche 43, à partir du moment où nous faisons
l' hypothèse q ue le tirage est aléatoire avec remise, ce qui correspond à une population infinie.
D'autre part, nous pouvons montrer que1iirn.A suit la loi binomiale de paramètres /1 et tr 11 • À partir
de ce résultat, nous pouvons construire un incerval le de confiance pour trA2. LES DIFFÉRENTES MÉTHODES DE CONSTRUCTION
Les trois méthodes pour construire un intervalle de confiance pour une proportion trA q ue nous
rencontrerons le pl us souvent sont:
1. la m éthode exacte ou encore appelée la m éthode de Clopper-Pearson q ui maintenant est
réalisable avec la pl upart des logiciels de statistique:
2. la méthode dn score ou encore appelée la m éthode de ' Wil~on ou encore la mé thode de
l'ellipse:
3. la m éthode a~ymptotiqne ou encore appelée la méthode de Wa ld .
Des études statistiq ues ont montré q ue, parmi ces trois méthodes, la méthode à privilégier est la
m éthode dn :score. Néanmoins, la méthode de Wald reste très utilisée et présentée dans de nombreux manuels alors qu 'elle ne permet généralement pas d'obtenir des intervalles de confiance de
q ualité convenable.
a) Intervalle de confiance par la méthode du score ou la méthode de Wilson
L'intervalle de confiance pour la proportion !CA au niveau de confiance ( 1 - a) est égal à :
_
1 ?
:ir,,.A(obs)( 1 - :ir,,.A(obs)) 11 i-012
tr,,.A(obs) + :z;;u; ...., 12 - "1-012 X ·
/1
+ 4,T
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1 + ;;"ï~12
où 11 1 ....,12 est le q uantile d'ordre 1 - a-/ 2 pour la loi normale centrée-réduite.
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