Fiche 47 • Intervalles de confiance pour une variance
a) Intervalle de probabilité
11S 2
11 et 12 sont les bornes de l'intervalle de probabilité pour --!f si
(]'(
11s;,
(11 - l)s;.c
)
Il' /1 < -
=
< /2 = 1 -Il'.
q2
q2
Par exemple, nous pouvons prendre la borne / 1 égale au q uantile d'ordre &/2 pour la loi du Khideux à (11 - 1) degrés de liberté y(11 - 1) et la borne /2 égale au quantile d'ordre 1 - loi du Khi-deux à (11 - 1) degrés de libertéx
2 (11- 1 ).
b) Intervalle de confiance
L'intervalle de confiance pour u2 à 1 - &est égal à:
(11 - l)s;_c 11S;,(obs)
?
11S;,(obs)
(11 - 1 )S;,.(obs)
- - - - - - = - - - < 0- < - - - = - - - - - -
12
12
11
11
3. APPLICATION : LES PLANTES MARINES
Un biologiste étudie un type d'algue q ui attaq ue les plantes marines. La toxine contenue dans
cette algue est obtenue sous forme d' une sol ution organique. Il mesure la q uantité de ttoxine par
gramme de solution. Il a obtenu les neuf mesures suivantes, exprimées en milligrammes: 1,2;
0,8 ; 0,6; I, 1 ; 1,2; 0,9 ; 1,5; 0,9 ; 1,0. Nous supposons que ces mesures sont les réalisations
de variables aléatoires indépendantes et identiq uement distribuées suivant la loi normale d'espéranceµ et d'écart-type Donnons une estimation ponctuelle de l'espéranceµ de la quantité de toxine par gramme de
solution :
"ji9(obs) = 1,022 mg.
Remarque
Pour un calcul détaillé voir Fiche 46.
Donnons une estimation ponctuelle de la variance SJ)obs) = 0,069 mg
2 .
Déterminons un intervalle de confiance à 95 % pour la variance u2 de la q uantité de ttoxine par
gramme de sol ution. L'espéranceµ et lécart-type u2 de niveau 95 % s'obtient avec la formule suivante:
8SJ)obs)
?
- - - - < q/2
0,032 mg
2 < ssJc (obs)
< - - - -
/1
< 0,255 mg
2
où / 1 = 2,180 est le q uantile d'ordre 0,025 pour la loi du Khi-deuxy(8) et /2 = 17,535 est le
q uantile d'ordre 0,975 pour la loi du Khi-deuxx 2 (8).
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