Fiche 46 • Intervalles de confiance pour une espérance
b) Intervalle de probabilité
L'intervalle de probabilité pour µ.~à 1 - a est égal à :
S,,/' 11 - 1
µ,,- µ
- fn-1 :1-
S,,/ VII - 1
où ln-l :l-a/2 est le quantile d'ordre 1 - a/2 pour la loi de Student 1(11 - 1).
c) Intervalle de confiance
L'intervalle de confiance pourµ à 1 - a est égal à :
_
S,,(obs)
_
S ,,(obs)
µ,,(obs) - 1,,_1 :1-a12 - ~ < µ < µ,,(obs) + ln-1 :1-a/2 - ~ ·
~ - 1
v11 - I
où 1n-l :l-af2 est le quantile d'ordre 1 - a/2 pour la loi de Student 1(11 - 1).
Remarque
S,,(obs)/ .rn-=1 = S,,,,(obs)J Vn où S,," est défini Fi che 44.
3. APPLICATION : LES PLANTES MARINES
Un biologiste étudie un type d'algue q ui attaq ue les plantes marines. La toxine contenue dans
cette algue est obtenue sous forme d' une sol ution organique. Il mesure la q uantité de ttoxine par
gramme de solution. Il a obtenu les neuf mesures suivantes, exprimées en milligrammes: 1,2;
0,8 ; 0,6 ; l, I ; 1,2 ; 0,9 ; 1,5 ; 0,9 ; 1,0. Nous supposons que ces mesures sont les réalisations
de variables aléatoires indépendantes et identiq uement distribuées suivant la loi normale d'espéranceµ et d'écart-type cr.
Donnons une estimation ponctuelle de l'espéranceµ de la quantité de toxine par gramme de
solution:
"ji 9 ( obs) = ~ (1,2 + 0,8 + 0,6 + 1,1+1,2 +0,9+ 1,5 + 0,9 + 1,0) = 1,022 mg.
Donnons une estimation ponctuelle de l'écart-type cr :
S 9.c(obs) = 0,264 mg.
Déterminons un intervalle de confiance à 95 % pour l'espéranceµ de la q uantité de toxine par
gramme de sol ution. L'espéranceµ et lécart-type a étant inconnus, lintervalle de confiance pour
µde niveau 95 % s'obtient avec la formule suivante:
_
S 9.c(obs)
_
S 9.c(obs)
µ9(obs) - ls:o.975 ~ < µ < µ9(obs) + ls:o.975 ~
v9
v9
0,820 mg < µ < 1,225 mg
où ls :0.975 = 2,3060 est le quantile d'ordre 0,975 pour la loi de Student à huit degrés de liberté
notée 1(8).
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b) Intervalle de probabilité
L'intervalle de probabilité pour µ.~à 1 - a est égal à :
S,,/' 11 - 1
µ,,- µ
- fn-1 :1-
S,,/ VII - 1
où ln-l :l-a/2 est le quantile d'ordre 1 - a/2 pour la loi de Student 1(11 - 1).
c) Intervalle de confiance
L'intervalle de confiance pourµ à 1 - a est égal à :
_
S,,(obs)
_
S ,,(obs)
µ,,(obs) - 1,,_1 :1-a12 - ~ < µ < µ,,(obs) + ln-1 :1-a/2 - ~ ·
~ - 1
v11 - I
où 1n-l :l-af2 est le quantile d'ordre 1 - a/2 pour la loi de Student 1(11 - 1).
Remarque
S,,(obs)/ .rn-=1 = S,,,,(obs)J Vn où S,," est défini Fi che 44.
3. APPLICATION : LES PLANTES MARINES
Un biologiste étudie un type d'algue q ui attaq ue les plantes marines. La toxine contenue dans
cette algue est obtenue sous forme d' une sol ution organique. Il mesure la q uantité de ttoxine par
gramme de solution. Il a obtenu les neuf mesures suivantes, exprimées en milligrammes: 1,2;
0,8 ; 0,6 ; l, I ; 1,2 ; 0,9 ; 1,5 ; 0,9 ; 1,0. Nous supposons que ces mesures sont les réalisations
de variables aléatoires indépendantes et identiq uement distribuées suivant la loi normale d'espéranceµ et d'écart-type cr.
Donnons une estimation ponctuelle de l'espéranceµ de la quantité de toxine par gramme de
solution:
"ji 9 ( obs) = ~ (1,2 + 0,8 + 0,6 + 1,1+1,2 +0,9+ 1,5 + 0,9 + 1,0) = 1,022 mg.
Donnons une estimation ponctuelle de l'écart-type cr :
S 9.c(obs) = 0,264 mg.
Déterminons un intervalle de confiance à 95 % pour l'espéranceµ de la q uantité de toxine par
gramme de sol ution. L'espéranceµ et lécart-type a étant inconnus, lintervalle de confiance pour
µde niveau 95 % s'obtient avec la formule suivante:
_
S 9.c(obs)
_
S 9.c(obs)
µ9(obs) - ls:o.975 ~ < µ < µ9(obs) + ls:o.975 ~
v9
v9
0,820 mg < µ < 1,225 mg
où ls :0.975 = 2,3060 est le quantile d'ordre 0,975 pour la loi de Student à huit degrés de liberté
notée 1(8).
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