46 lnterva l les de confiance
pour une espérance
Mots clés
! intervalle de confiance pour une espérance d'une loi normale écart-type connu, intervalle de confiance 1
~rune espérance d'une loi normale écart-type inconnu.
1. ESPÉRANCE D'UNE LOI NORMALE, ÉCART· TYPE u CONNU
Soit (X,, ... , X,,) un échantillon aléatoire de loi parente la loi normale d'espéranceµ et d'écart·
type u .
µ,, = ~ f x.-esc le meilleur estimaceurdeµ et Ji,, suit la loiN(µ: ~).voir Fiche 43.
JJ i= I
·yJJ
a ) In terva lle de proba bili té
L'intervalle de probabilité pour JI,, à 1 - Il' est égal à:
où 11 1 ...,12 est le quantile d'ordre 1 -&/2 pour la loi normale centrée-réduite.
b) Interva lle de confia nce
L'intervalle de confiance pourµ à 1 - &estégal à :
où 11 1 ...,12 est le quantile d'ordre 1 -&/2 pour la loi normale centrée-réduite.
Rema rque
Souvent 1 - (f sera fixé à 0,95 et par conséquent u 1 -<>/2 sera égal à 1,96.
2. ESPÉRANCE D'UNE LOI NORMALE, ÉCART· TYPE u INCONNU
a ) Théorè me de Fisher
Soit X 1 , ••• , X,, 11 variables aléatoires indépendantes de loi la loi normale d'espéranceµ et d'écart·
type u . s?
-
Ji,, et
11 ?n sont deux variables aléatoires indépendantes etµ,,~;. suit la loi normale N(O; 1) et
u -
u/ v11
11S 2
µ - µ
-f suit la loi du Khi-de ux,K2(11- 1). '~ suit la loi deStudent 1(11 - 1).
u
S,,/'11-I
Rema rque
S~ est défini Fk he 44.
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