45 Estimation par intervalle
de confiance
Mots clés
Estimation ensembliste, estimation par intervalle de confiance.
1. INTRODUCTION
Lorsque nous procédons à lestimation de l' une des caractéristiques, notée B, de la population,
il est plus pertinent de fo urnir un intervalle 8 1 < B < 82 plutôt que de donner simplement une
estimation ponctuelle, c'est-à-dire d'écrire uniquementÔ = c.
Un tel intervalle )81: Bi( s'appelle une estimation par intervalle de confiance du paramètre Bou
estimation en~embliste de la caractéristiq ue B.
2. PRINCIPE
La méthode s ur laquelle repose la construction des intervalles de confiance est la suivante:
• Soit Ô,, un estimateur de B doncnous connaissons la loi de probabilité pour c haq ue valeur de B.
Il va de soi qu'il convient d'utiliser le meilleur estimateur possible en suivant les recommandations des Fiches 4 1 et 42.
• Étant donné une valeur 8 0 du paramètre B, nous déterminons un intervalle de probabilité
b ilatéral d e niveau (1 - a) pour !'estimateur Ô,,, c'est-à-dire deux bornes B'[ et~ telles que :
Remarques
1. Ces deux bornes dépendent de la valeur Bo.
2. Nous pourrions également construire des intervalles unilatéraux pour lesquels U: = - co ou ~= +eo.
3. Nous ch>0isissons dans la plupart des cas un intervalle de probabilité à risques symétriques a/2
et a/2.
• Nous répétons cette opération pour toutes les valeurs du paramètre B.
3. INTERVALLE DE CONFIANCE
a) Définition
Nous appelons intervalle d e confiance de n iveau d e confiance 1 - a d n paramètre B tout
intervalle )8 1 ;82( tel que : 1!'()81: 8i(3 B) = 1 - a pou ra E (O: 1) fixé.
b) Propriétés
1. La probabilité a pour que l'intervalle de con fiance ne contienne pas la vraie valeur B peut
être répartie différemment de part et d'autre des bornes de l'intervalle de confiance. Posons
a= a, + a2, où a, mesure le risque que la vraie valeur inconnue de B soit plus petite que
la borne inférieure 81 de l'intervalle de confiance et a2 mesure le risque que la vraie valeur
inconnue de B soit pl us grande que la borne supérieure Bi de l'intervalle de confiance.
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de confiance
Mots clés
Estimation ensembliste, estimation par intervalle de confiance.
1. INTRODUCTION
Lorsque nous procédons à lestimation de l' une des caractéristiques, notée B, de la population,
il est plus pertinent de fo urnir un intervalle 8 1 < B < 82 plutôt que de donner simplement une
estimation ponctuelle, c'est-à-dire d'écrire uniquementÔ = c.
Un tel intervalle )81: Bi( s'appelle une estimation par intervalle de confiance du paramètre Bou
estimation en~embliste de la caractéristiq ue B.
2. PRINCIPE
La méthode s ur laquelle repose la construction des intervalles de confiance est la suivante:
• Soit Ô,, un estimateur de B doncnous connaissons la loi de probabilité pour c haq ue valeur de B.
Il va de soi qu'il convient d'utiliser le meilleur estimateur possible en suivant les recommandations des Fiches 4 1 et 42.
• Étant donné une valeur 8 0 du paramètre B, nous déterminons un intervalle de probabilité
b ilatéral d e niveau (1 - a) pour !'estimateur Ô,,, c'est-à-dire deux bornes B'[ et~ telles que :
Remarques
1. Ces deux bornes dépendent de la valeur Bo.
2. Nous pourrions également construire des intervalles unilatéraux pour lesquels U: = - co ou ~= +eo.
3. Nous ch>0isissons dans la plupart des cas un intervalle de probabilité à risques symétriques a/2
et a/2.
• Nous répétons cette opération pour toutes les valeurs du paramètre B.
3. INTERVALLE DE CONFIANCE
a) Définition
Nous appelons intervalle d e confiance de n iveau d e confiance 1 - a d n paramètre B tout
intervalle )8 1 ;82( tel que : 1!'()81: 8i(3 B) = 1 - a pou ra E (O: 1) fixé.
b) Propriétés
1. La probabilité a pour que l'intervalle de con fiance ne contienne pas la vraie valeur B peut
être répartie différemment de part et d'autre des bornes de l'intervalle de confiance. Posons
a= a, + a2, où a, mesure le risque que la vraie valeur inconnue de B soit plus petite que
la borne inférieure 81 de l'intervalle de confiance et a2 mesure le risque que la vraie valeur
inconnue de B soit pl us grande que la borne supérieure Bi de l'intervalle de confiance.
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