43 Exemples d'esti1 mateurs
de caractéristiques de position
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Estimateurs de la moyenne., de la médiane., des quartiles et d'une proportion, statistique d'ordre.
Soit (X 1 , ••• ,X. ) un échantillon aléatoire de loi pa.rente la loi de X.
1. ESTIMATEUR DE LA MOYENNE
L'estimateur;û,, de la moyenneµ est égal à:
-
1 •
µ. = - l::X;.
JJ i= I
Pr op ri étés :
1. Pour un échantillon aléatoire dont la loi parente admet une espérance notéeµ, µ,, est un
estimateur sans biais de la moyenneµ, c'est-à-dire IB@,,) = µ.
2. Lorsque la loi parente admet une variance, notée à Var@,,)= 2. ESTIMATEUR DE LA MÉDIANE
Soit met d les parties entière et décimale de (11 + .1 )/2. L'estimateur de la médiane, Q 1 ou Qo.s,
est défini par :
Q1 = -l°{m) + d(X(m+ 1) - X~,,)),
où ·'" Définition: .. l°(m) est appelée la m-ième statistique d'ordre.
Remarque
1. Il existe beaucoup de définitions pour !'estimateur de la médiane. Celle que nous avons décidé
d'adopter ne permet pas de discussion au niveau du calcul et est utilisée par la plupart des logiciels
de statistique.
2. Concrètement la formule indique que
a. si l'effectif de l'échantill on n est impair, n = 2m + 1 alors l'estimation de la médiane est égale à
la valeur observée qui se situe au milieu de l'échantill on lorsque les valeurs de l'échantill on sont
rangées par ordre croissant;
b. si l'effectif de l'échantillon n est pair, n = 2m alors l'estimation de la médiane est égale à la
moyenBe des valeurs observées qui se situent au centre de l'échantill on lorsque les valeurs de
l'échant illon sont rangées par ordre croissant :
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