Fiche 42 • Comment améliorer un estimateur 7
Remarques
1. Si le domain e de définition de X dépen d de B, le théorème de Darmois n e s'appliq ue pas, ce qui
n'empêche pas de trouver dans certains cas des statistiques exhaustives.
2. La p lu part des lois usuell es, comme la loi de Poi sson, la loi de Laplace-Gauss, les lois y sont de la forme
expon entielle.
3. Toute fonction injective d'une statistiqu e exhaustive est encore exh au stive.
2. ESTIMATEUR SANS BIAIS DE VARIANCE MINIMALE
T héorème : S'il existe un estimateur de B sans biais, de variance minimale, il est unique presque
sürement.
T héorème de Ra o-Blackwell : Soit T un estimateur sans biais de B, S une statistiq ue exhaustive
de B, h(S) = IB(TIS = s) est un estimateur sans biais pour B, préférable au sens large à T, c'est-àdire tel q ue V ar(T);;., Var(/i(S)), avec Ir indépendant de B.
Propri été : S'il existe une statistique exhaustive U, alors !'estimateur sans biais T de Ode variance
minimale ne dépend que de U.
Définition : S ta tistique complète. Si X est une variable aléatoire à valeurs dans Dx de loi de
probabilité 1!'9, la statis tique V est complète: ou la famille (D x, l!' s) est complète, si :
VB E 19, IB (/r(U)) = 0 =>Ir= 0 presque sürement.
Propri été: La statistique exhaustive d' une famille exponentielle est complète.
T héorème d e Lehmann-Scheffe : Si T' est un estimateur sans biais de B, dépendant d' une statistique exhaustive complète U, alors T' est l' unique estimateur sans biais de variance minimale
de B. En particulier, si nous disposons déjà de T, estimateur sans biais de B, alors T ' = IB(TIU).
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