42 Comment améliorer
un estimateur?
Mots clés --------------------------------~
Statistiques exhaustives, famille exponentielle. théorème de Darmois, théorème de Rao-Blackw-ell,
statistique complète, théorème de Lehmann-Scheffe.
1. STATISTIQUES EXHAUSTIVES - FAMILLE EXPONENTIELLE
Définition: Soit le modèle statistiq ue (Dx, IP9), oil Dx est l'ensemble des valeurs de la variable
aléatoire X et où IP9 est la loi de probabilité sur Dx dont la densité (ou la probabilité) a u point x
est fx( x, B). S est une statistique exha ustive si la loi conditionnelle de X sachant S (x ) = s est
indépendante du paramètre 8, soit IP9 (XIS (x) = s) indépendante de 8.
Remarque
Cela signifie que la donnée de S seule renseigne complètement sur la valeur du paramètre /) et que les
valeurs de X n'apportent aucune information supplémentaire.
T héorème : P r incipe de factorisation. Soit le modèle statistique (Dx, IP9) et S une statistique. S
est une statistique exhaustive si et seulement si fx(x,8) se met sous la forme:
fx(x,8) = 9x(x) x hs (S(x),8),
où gx(x) ;;. 0 et où lrs est la densité de la statistiq ue S.
Remarque
Le principe de factorisation fournit un moyen de reconnaître si une statistique est exhaustive, mais ne
permet pas de la construire ou même de savoir s'il en existe une.
La famille exponentielle, parfois dite de Darmois ou de Koopman, est fondamentale.
Définition : Un modèle statistique (Dx, IP9) est exponentiel s'il existe une mesure positiveµ
o-- finie, un entier naturel r, des fonctions réelles mesurables x-> lr(x) > 0, x-> T 1 (x), ... , x->
T,(x) et des fonctions réelles 8-> c(8) et 8-> a-,(8), ... ,8-> a-,(8) telles que IP9 admette pour
densité par rapport ൠ:
fx(x, B) = c(B)/r(x)exp (t, &j (8)Tj(.t)).
La famille des probabilités (IP 8 ,8 E 19) est appelée famille exponentielle. T = (T 1 , ••• , T,) est
appelée statistique privilégiée du modèle.
T héorème de Darmois . Soit une variable aléatoire X dont le domaine de définition ne dépend
pas de 8. Une condition nécessaire et suffisante pour que l'échantillon (X 1 , ••• , X. ) admette une
statistique exhaustive est que la forme de la densité soit :
f(x,8) =exp ( .8(8) + b(x) + t &j (B)a j(x)) (famille exponentielle).
t
p l
Si la densité est de cette forme alors T = CI:f= 1 a, (X;), ... , I:f= 1 a,(X;)) est une statistique exhaustive particulière.
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un estimateur?
Mots clés --------------------------------~
Statistiques exhaustives, famille exponentielle. théorème de Darmois, théorème de Rao-Blackw-ell,
statistique complète, théorème de Lehmann-Scheffe.
1. STATISTIQUES EXHAUSTIVES - FAMILLE EXPONENTIELLE
Définition: Soit le modèle statistiq ue (Dx, IP9), oil Dx est l'ensemble des valeurs de la variable
aléatoire X et où IP9 est la loi de probabilité sur Dx dont la densité (ou la probabilité) a u point x
est fx( x, B). S est une statistique exha ustive si la loi conditionnelle de X sachant S (x ) = s est
indépendante du paramètre 8, soit IP9 (XIS (x) = s) indépendante de 8.
Remarque
Cela signifie que la donnée de S seule renseigne complètement sur la valeur du paramètre /) et que les
valeurs de X n'apportent aucune information supplémentaire.
T héorème : P r incipe de factorisation. Soit le modèle statistique (Dx, IP9) et S une statistique. S
est une statistique exhaustive si et seulement si fx(x,8) se met sous la forme:
fx(x,8) = 9x(x) x hs (S(x),8),
où gx(x) ;;. 0 et où lrs est la densité de la statistiq ue S.
Remarque
Le principe de factorisation fournit un moyen de reconnaître si une statistique est exhaustive, mais ne
permet pas de la construire ou même de savoir s'il en existe une.
La famille exponentielle, parfois dite de Darmois ou de Koopman, est fondamentale.
Définition : Un modèle statistique (Dx, IP9) est exponentiel s'il existe une mesure positiveµ
o-- finie, un entier naturel r, des fonctions réelles mesurables x-> lr(x) > 0, x-> T 1 (x), ... , x->
T,(x) et des fonctions réelles 8-> c(8) et 8-> a-,(8), ... ,8-> a-,(8) telles que IP9 admette pour
densité par rapport ൠ:
fx(x, B) = c(B)/r(x)exp (t, &j (8)Tj(.t)).
La famille des probabilités (IP 8 ,8 E 19) est appelée famille exponentielle. T = (T 1 , ••• , T,) est
appelée statistique privilégiée du modèle.
T héorème de Darmois . Soit une variable aléatoire X dont le domaine de définition ne dépend
pas de 8. Une condition nécessaire et suffisante pour que l'échantillon (X 1 , ••• , X. ) admette une
statistique exhaustive est que la forme de la densité soit :
f(x,8) =exp ( .8(8) + b(x) + t &j (B)a j(x)) (famille exponentielle).
t
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Si la densité est de cette forme alors T = CI:f= 1 a, (X;), ... , I:f= 1 a,(X;)) est une statistique exhaustive particulière.
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