41 Comment choisir un estimateur 7
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Fonction de risqu e q uadratiq ue, estimateur san s b iais.
1. INTRODUCTION
Si la question « comment c hoisir un estimateur?» se pose, c'est que nous avons déjà le choix
entre au moins deux estimateurs et q ue nous n'avons plus à c hoisir la méthode pour le construire,
voir Fiches 39 et 40.
D'abord nous sommes-nous déjà retrouvés dans cette situation? Sans le savoir, oui si nQuS avons
déjà utilisé le tableur Microsoft Excel ou une calculatrice scientifiq ue! En effet, ces derniers
proposent deux estimateurs pour la variance u2, qui sont souvent notés u; et u-;_ 1
• La question se
pose alors : « Leq uel des deux estimateurs faut-il c hoisir? Y en a-t-il un meilleur q ue l'autre?»
Un premier é lément de réponse peut être le suivant: « Sélectionner celui qui est sans biais!». Le
biais a été défini à la Fiche 38. Nous comprendrons la raison à la fin de cette fiche'
2. FONCTION DE RISQUE QUADRATIQUE
Pour mesurer l'erreur entre !'estimateur ô. et le paramètre B à estimer, nous utilisons souvent,
mais pas excl usivement, la fonction de ri sque quadratique définie par:
Donc le critère pourrait être le suivant : c hercher !'estimateur q ui minimise la fonction de
risque q uadratique ce qui revient à c hercher l'esttimateur qui minimise la distance euclidienne
en moyenne entre le vrai paramètreBet l'estimateu rô • .
Remarque
Nou s pourrions envisager de m inimi ser n on pas en di stance euclid ienne mais en valeur absolue.
Défiuition : Nous disons q ue Ô, 1 • 1 est un estimateur préférable à Ô,, 2 si : pour tout BE 19,
Si de plus R (ô, 1 . 1: B) * R (ô •. 2 :B) pour au moins une valeur de B E 19, nous disons alors q ue
!'estima teur Ô, 1 . 1 est meilleur que Ô, 1 .2.
Définition : Un estima teur ô. est inadmissib le s' il existe un estimateur G q ui lui est préférable.
Il est admissible dans le cas contraire.
Remarque
Sauf dans des cas triviau x il n'existe pas d'estimateur p référable à tous les autres. Il est tou tefois possible
d'obtenir des -estimateu rs préférables à tous les autres au sein d'u ne famille restreinte d'estimateurs.
Nou s remarqu ons q ue :
116
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Fonction de risqu e q uadratiq ue, estimateur san s b iais.
1. INTRODUCTION
Si la question « comment c hoisir un estimateur?» se pose, c'est que nous avons déjà le choix
entre au moins deux estimateurs et q ue nous n'avons plus à c hoisir la méthode pour le construire,
voir Fiches 39 et 40.
D'abord nous sommes-nous déjà retrouvés dans cette situation? Sans le savoir, oui si nQuS avons
déjà utilisé le tableur Microsoft Excel ou une calculatrice scientifiq ue! En effet, ces derniers
proposent deux estimateurs pour la variance u2, qui sont souvent notés u; et u-;_ 1
• La question se
pose alors : « Leq uel des deux estimateurs faut-il c hoisir? Y en a-t-il un meilleur q ue l'autre?»
Un premier é lément de réponse peut être le suivant: « Sélectionner celui qui est sans biais!». Le
biais a été défini à la Fiche 38. Nous comprendrons la raison à la fin de cette fiche'
2. FONCTION DE RISQUE QUADRATIQUE
Pour mesurer l'erreur entre !'estimateur ô. et le paramètre B à estimer, nous utilisons souvent,
mais pas excl usivement, la fonction de ri sque quadratique définie par:
Donc le critère pourrait être le suivant : c hercher !'estimateur q ui minimise la fonction de
risque q uadratique ce qui revient à c hercher l'esttimateur qui minimise la distance euclidienne
en moyenne entre le vrai paramètreBet l'estimateu rô • .
Remarque
Nou s pourrions envisager de m inimi ser n on pas en di stance euclid ienne mais en valeur absolue.
Défiuition : Nous disons q ue Ô, 1 • 1 est un estimateur préférable à Ô,, 2 si : pour tout BE 19,
Si de plus R (ô, 1 . 1: B) * R (ô •. 2 :B) pour au moins une valeur de B E 19, nous disons alors q ue
!'estima teur Ô, 1 . 1 est meilleur que Ô, 1 .2.
Définition : Un estima teur ô. est inadmissib le s' il existe un estimateur G q ui lui est préférable.
Il est admissible dans le cas contraire.
Remarque
Sauf dans des cas triviau x il n'existe pas d'estimateur p référable à tous les autres. Il est tou tefois possible
d'obtenir des -estimateu rs préférables à tous les autres au sein d'u ne famille restreinte d'estimateurs.
Nou s remarqu ons q ue :
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