40 Méthode du maximum
de vraisemblance
Mots clés --------------------------------~
Vraisemblance d"un échant illon, estimateur du maximum de vraisemblance, condit ions différent ielles
nécessaires d'existence.
1. VRAISEMBLANCE D'UN ÉCHANTILLON
La vraisemblance des observations x = (x 1 , ••• , x,,) d ' un échantillon aléatoire de loi parente la
loi de X est défi nie de la façon suivante:
• si X est une variable aléatoire continue :
BE e ,!., L (x, , ... , x,,IB) = n fx(x;,B),
i= I
où e est l'ensemble des valeurs possibles du pa.ramètre B et fx la de nsité de probabilité de X ;
• si X est une variable aléatoire discrè te :
f
"
BE e ,_. L (x, , ... , x,,IB) = n fx(x;,B),
i= I
où e est lensemble des valeurs possibles du paramètre Bet fx est la fo nc tion de prob abili té de
X, fx(x;,B) = IP9(X; = x ;).
Remarque
Les expressions des vraisemblan(es d~essus ne sont valables que par(e que les variables aléatoires
X1 . . .. . Xn sont indépendantes par défini tion d'un échantillon aléatoire.
2. ESTIMATEUR DU MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE
Définition : Un estimateur dn maximnm de vraisemblance (EMV) du paramètre B est une
statistique de l'échantillon :
o;, : D'.~ __, e
x = (x 1 , ••• , x. ) ,.... ô;,(x 1 , ••• , x. )
telle que VB E e, L(x , , ... , x,,~,) ;;., L (x 1 , ••• , x,,IB) .
Remarques
1. L(x!B) n'a aucune raison d'êt re dérivable en B.
2. Il n'y a aucune raison p our qu'un estimat eur du maximum de vraisemblance soi t sans biais .
3. Un estimat eur du maximum de vraisemblance n 'a aucune raison d'être unique.
Remarque
Le principe de vraisemblance., à la base de la procédure d'est imation du maximum de vraisemblance,
revient à rechercher la valeur de B, fonction des o bservations (x 1 ,. • •• • Xn ), qui assure la plus gr ande probabilit é d'ob t enir ces observat ions.
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