39 Méthode des moments
Mots clés --------------------------------~
M éth ode des m oments, application aux lois Bêta, appli cation aux lois uni formes.
1. PRINCIPE
Cette méthode peut être qualifiée de « q ua~i naturelle» dans la mesure où elle est relativement
intuitive.
a) Détails
S upposons que nous devons estimer l paramètres notés 81, Bi •... ,B,.
La méthode des moments consiste à choisir des estimateurs Ôi, ... , Ôi issus de la résolu tion d' un
système de l équations en les l paramètres inconnus, obtenu en égalant les l premiers moments
par rapport à l'origine notésµ;= IB(X;), pour i variant de 1 à/ et les moments correspondants de
"
l'échantillon m; = ~ L:>~ pour i variant de 1 à/.
Il j=I
b) Exemple
Dans le cas où un seul paramètre est inconnu, nous devons résoudre l'éq uation suivante:
1 "
µ 1 =µ = IB(X) =m 1 = - L:xj=x,,
Il j;I
oùµ est la moyenne de la population. Si µest le paramètre inconnu, la solution de l'équation
ci-dessus est triviale :
2. APPLICATIONS
a) Loi Bêta
Considérons le modèle paramétrique 'P
B = (a,b).
!Beta.(a;b);a > O,b > Of. Nous désirons estimer
1
R a ppel de la Fiche 29 : Beta(a;b) est de densité: fx(x) = B(a,b)'f'- 1 (1 - x)b-I 1 10 , 11 (x).
Soit X 1 de loi Beta(a;b), nous avons:
a
•
1Bca.b)(X1) = a+ b := c et IB(a.b)(X1 ( 1 - X1 )) = (a+ b)(a + b + I) := d.
En inversant le système, nous obtenons :
cd
a = - c---d ---"" "' "' et
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b= (1-c)d,.
c -d - c-