38 Estimation ponctuelle
Estimateurs
Mot s clés
Est imate ur, estimat ion. biais, estimateur sans biais, estimat e ur asymptotiqu ent sans biais, écart
quadr at iqu e moyen, estimateur r el ativement plus efficace, est imateur sans biais optimal, estimat eur
conver gent.
1. ESTIMATEUR ET ESTIMATION
a) Estimateur
Si (X 1 , ••• ,X,,) est un échantillon aléatoire d 'effectif /1 de loi parente la loi de X, prélevé dans
une population U alors nous appelons estima teur
"fX, = lr,,(X 1 , ••• , X,,).
Remarques
1. A p riori !'e stimat eur Ôn est à valeurs dans u n ensembl e ë. cont enant au moins 9, l'ensemble des
valeurs possibl es de B.
2. În est une variable aléato ire de loi de p ro babil it é q ui dépend de B.
3. Ôn peut êtr e univarié o u mul tivari é.
b) Estimation
Une fois l'échantillon prélevé, nous disposons de /1 valeurs observées x 1 , ••• , x,,, ce qui nous
fo urnit une valeur lr,,(x 1 , ••• , x,,) qui est une réalisation de Ô,, e t que nous appelons estimation.
Remarques
1. Nous disting uons la variabl e aléatoir e Ôn de sa vale ur o bservée., notée În(x 1 • ••• • xn).
2. Nous u ti liser ons les notations su ivant es :
a. (X 1 ,. • • • • Xn) désigne l 'éch anti ll on aléatoi r e de taille net les n observat ions ne sont pas enco re à
disposit ion.
b. (x 1 ,. ••• • Xn) désigne une réalisat ion de l 'échant illon aléatoi r e et l es n observati ons son t à disposi ti on.
3. Il faut syst ématiquement se demander: « su is-je en t r ain de manipul er u ne variable aléatoir e o u l'u ne
de ses réalisati ons ?»
2. PROPRIÉTÉS D'UN ESTIMATEUR
Le choix d ' un estima t eur va reposer sur ses qua lités. Le premier défaut possible concerne la
possibilité de comporter un bi ais.
• Biais d ' un estima teur
Le bia is de Ô,, se définit par 8 ~.) = IB ~.) -B.
• Estimateur sans bia is
Ô,, est un estima teur san s biais (ou non biaisé) du paramètre B si 8 ~,)
IB ("fX,) =B.
0, c'est-à-dire si
110
Estimateurs
Mot s clés
Est imate ur, estimat ion. biais, estimateur sans biais, estimat e ur asymptotiqu ent sans biais, écart
quadr at iqu e moyen, estimateur r el ativement plus efficace, est imateur sans biais optimal, estimat eur
conver gent.
1. ESTIMATEUR ET ESTIMATION
a) Estimateur
Si (X 1 , ••• ,X,,) est un échantillon aléatoire d 'effectif /1 de loi parente la loi de X, prélevé dans
une population U alors nous appelons estima teur
"fX, = lr,,(X 1 , ••• , X,,).
Remarques
1. A p riori !'e stimat eur Ôn est à valeurs dans u n ensembl e ë. cont enant au moins 9, l'ensemble des
valeurs possibl es de B.
2. În est une variable aléato ire de loi de p ro babil it é q ui dépend de B.
3. Ôn peut êtr e univarié o u mul tivari é.
b) Estimation
Une fois l'échantillon prélevé, nous disposons de /1 valeurs observées x 1 , ••• , x,,, ce qui nous
fo urnit une valeur lr,,(x 1 , ••• , x,,) qui est une réalisation de Ô,, e t que nous appelons estimation.
Remarques
1. Nous disting uons la variabl e aléatoir e Ôn de sa vale ur o bservée., notée În(x 1 • ••• • xn).
2. Nous u ti liser ons les notations su ivant es :
a. (X 1 ,. • • • • Xn) désigne l 'éch anti ll on aléatoi r e de taille net les n observat ions ne sont pas enco re à
disposit ion.
b. (x 1 ,. ••• • Xn) désigne une réalisat ion de l 'échant illon aléatoi r e et l es n observati ons son t à disposi ti on.
3. Il faut syst ématiquement se demander: « su is-je en t r ain de manipul er u ne variable aléatoir e o u l'u ne
de ses réalisati ons ?»
2. PROPRIÉTÉS D'UN ESTIMATEUR
Le choix d ' un estima t eur va reposer sur ses qua lités. Le premier défaut possible concerne la
possibilité de comporter un bi ais.
• Biais d ' un estima teur
Le bia is de Ô,, se définit par 8 ~.) = IB ~.) -B.
• Estimateur sans bia is
Ô,, est un estima teur san s biais (ou non biaisé) du paramètre B si 8 ~,)
IB ("fX,) =B.
0, c'est-à-dire si
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