36 Simulation d'une expérience
aléatoire
Mots clés --------------------------------~
Simulation statistiqu e, outils informatiques, processus de simul ation.
1. DÉFINITION DE LA SIMULATION STATISTIQUE
Dans son Dicrio1111aire e11cyclopédiq11e de la Srari.~rique (Dunod 1997), Yadolah Dodge donne la
d éfinition de la s imulation q ue nous reproduisons ici : la sim11lario11 esr la mérhode srarisrique
1unneTTa11T la reco11sri1111io11 jicrive de l'évolurion d'1111 1Jhé11omè11e. C'esr 1111e expérimemarion
qui s111111ose la co11s1iT111io11 d'1111modèle1/réoriq11e 1nisema1111111e simili Tiide de pm/)fié1és m1 de
relarions avec le 1Jhé11omè11efaisa11T l'objer de l'émde.
En effet, il n'est pas toujours possible d'étudier le comportement de modèles, d'estimateurs, voir
Fiche 38, en raison de leur complexité. Dans ces ca~. nous aurons alors recourt à des simulations
d' échantillo n~ pour combler l'absence d'éléments théoriques.
2. LES OUTILS INFORMATIQUES
Actuellement, cous les logiciels de calcul possèdent un gén ér ateur de nombres aléatoir es qui
en général correspondent à des observations provenant d' une loi uniforme continue sur l'intervalle (O: 1 ). Ce sont ces observations que nous qu alifions de nombres pseudo-aléatoir es puisq u'elles sonc engendrées par un mécanisme complécemenc déterministe. Les deux raisons principales pour lesquelles nous nous contentons d' un rendu pseudo-aléatoire sonc :
1. il est crès difficile d 'obcenirde «vrais» nombres aléatoires ec q ue, dans certaines si cuacions,
il est possible d' utiliser des nombres pseudo-aléatoires, en lieu ec place de vrais nombres
aléatoires :
2. ce sont des générateurs particulièrement adaptés à une implémencacion informatique, donc
plus facilement ec plus efficacement utilisables.
3. LE PROCESSUS DE SIMULATION
Nous souhaitons générer des réalisations d' une loi discrète ou continue. Nous commencerons par
résoudre le problème pour une loi continue puis pour une loi discrète.
a) Cas d'une loi continue
La fonction inverse de la fonction de répartition d' une variable aléatoire X suivant une loi continue, notée F x ec définie à la Fiche 26, existe d'après le théorème de la bijection, puisque la
fonction de répartition F x est continue ec strictement croissance. S upposons q ue nous disposons,
au moins de façon numérique, de la fonce ion inverse. Les logiciels de calcul proposenc, en général, les fonctions inverses des fonctions de répartition des lois continues cla~siques. Le processus
de simulation esc le suivant :
étant donné L Lne variable aléatoire, notée U, q ui su ie la loi uniforme sur lintervalle (O: 1). Considérons la variable aléatoire X= Fx' (U) ec déterminons sa fonction de répartition. Nous avons
ll'(X.; x) = Il'(F"}(' (U).; x) = Il'(U.; Fx(x)) = Fx(x),
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aléatoire
Mots clés --------------------------------~
Simulation statistiqu e, outils informatiques, processus de simul ation.
1. DÉFINITION DE LA SIMULATION STATISTIQUE
Dans son Dicrio1111aire e11cyclopédiq11e de la Srari.~rique (Dunod 1997), Yadolah Dodge donne la
d éfinition de la s imulation q ue nous reproduisons ici : la sim11lario11 esr la mérhode srarisrique
1unneTTa11T la reco11sri1111io11 jicrive de l'évolurion d'1111 1Jhé11omè11e. C'esr 1111e expérimemarion
qui s111111ose la co11s1iT111io11 d'1111modèle1/réoriq11e 1nisema1111111e simili Tiide de pm/)fié1és m1 de
relarions avec le 1Jhé11omè11efaisa11T l'objer de l'émde.
En effet, il n'est pas toujours possible d'étudier le comportement de modèles, d'estimateurs, voir
Fiche 38, en raison de leur complexité. Dans ces ca~. nous aurons alors recourt à des simulations
d' échantillo n~ pour combler l'absence d'éléments théoriques.
2. LES OUTILS INFORMATIQUES
Actuellement, cous les logiciels de calcul possèdent un gén ér ateur de nombres aléatoir es qui
en général correspondent à des observations provenant d' une loi uniforme continue sur l'intervalle (O: 1 ). Ce sont ces observations que nous qu alifions de nombres pseudo-aléatoir es puisq u'elles sonc engendrées par un mécanisme complécemenc déterministe. Les deux raisons principales pour lesquelles nous nous contentons d' un rendu pseudo-aléatoire sonc :
1. il est crès difficile d 'obcenirde «vrais» nombres aléatoires ec q ue, dans certaines si cuacions,
il est possible d' utiliser des nombres pseudo-aléatoires, en lieu ec place de vrais nombres
aléatoires :
2. ce sont des générateurs particulièrement adaptés à une implémencacion informatique, donc
plus facilement ec plus efficacement utilisables.
3. LE PROCESSUS DE SIMULATION
Nous souhaitons générer des réalisations d' une loi discrète ou continue. Nous commencerons par
résoudre le problème pour une loi continue puis pour une loi discrète.
a) Cas d'une loi continue
La fonction inverse de la fonction de répartition d' une variable aléatoire X suivant une loi continue, notée F x ec définie à la Fiche 26, existe d'après le théorème de la bijection, puisque la
fonction de répartition F x est continue ec strictement croissance. S upposons q ue nous disposons,
au moins de façon numérique, de la fonce ion inverse. Les logiciels de calcul proposenc, en général, les fonctions inverses des fonctions de répartition des lois continues cla~siques. Le processus
de simulation esc le suivant :
étant donné L Lne variable aléatoire, notée U, q ui su ie la loi uniforme sur lintervalle (O: 1). Considérons la variable aléatoire X= Fx' (U) ec déterminons sa fonction de répartition. Nous avons
ll'(X.; x) = Il'(F"}(' (U).; x) = Il'(U.; Fx(x)) = Fx(x),
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