Fiche 35 • Vecteurs aléatoires gaussiens
a) Quelle est la loi de X, de Y, de Z, de - X+ 2Z et de X - Y+ SZ?
Le vecteur aléatoire (X, Y, Z) est un vecteur gaussien donc, par définition, chacune des combinaisons linéaires a X + fJY + yZ, pour (a,fJ, y) E JR 3 , suie une loi normale. En choisissant
(a,fJ, y) = ( 1,0, 0), nous obtenons q ue la variable aléatoire X suie une loi normale. L'espérance
de X est donnée par la première composante de µ 1 = 0 ec sa variance par le coefficientI 1.1 = 4 .
Ainsi X suit la loi normale N(0 ;4). De la même manière Y suit la loi normale N(2; 4 ) ec Z la loi
normale N ( 1: 3).
Pour (a,fJ,y) = (- 1,0,2), nous déduisons que - X+ 2Z suie une loi normale. CalC'ulons son
espérance: IB(- X + 22) = -IB(X) + 2 1B(Z) = 2. Pour la variance, Var(- X + 22) = Var(- X) +
2Cov(- X,2Z) + Var(2Z) = Var(X) -4Cov(X,Z) + 4V a~Z) = 4 -4 x3 + 4 x 3 = 4 .
Enfin pour (a,fJ, y)= (1, - 1, 5), nous déduisonsqLte X - Y +5Z suie une loi normale. Calculons son
espérance: IB(X - Y +52) = IB(X) -IB(Y)+51B(Z) = 3. Pour la variance, Var(X - Y +52) = Var(X)+
Var(- Y)+ Var(5Z)+2Cov(X, - Y)+2Cov(X,5Z)+2Cov(- Y,5Z) = 4 + 4 + 75 -4 +30 - 20= 89.
b) Le vecteur (X, Y+ Z) est-i l un vecteur gaussien? Quelle est sa loi?
Le vecteur V =(X, Y+ Z) est gaussien si c hacune des combinaisons linéaires a X +fJ(Y + Z), pour
(a,/J) E JR 2 , suie une loi normale, ce qui est bien le cas puisque (X, Y, Z) est un vecteur gaussien ec
q ue donc, par définition, c hacune des combinaisons linéaires a X+ fJY + yZ, pour (a,fJ, y) E JR
3 ,
suit une loi normale.
Calculons l'espérance de V : IB(V) = (IB(X), IB(Y + Z)) = (0, 3). Puis déterminons sa matrice de
variance-covariance Var(V) :
Var(V) =
=
.
(
Var(X)
Cov(X, Y+ Z) ) ( 4 5 )
C ov(Y + Z,X) Va~Y + Z)
5 11
103