35 Vecteurs aléatoires gaussiens
Mots clés
Vecteur aléatoire gaussien. corrélation et indépendance, densité, manipulation de vecteurs gaL1Ssiens.
1. DÉFINITION
X est un vecteur gatL~sien à p dimetL~iolL~ si coute combinaison linéaire de ses composantes suie
une loi normale à une dimension.
Remarque
La normalité de chacune de ses composantes ne suffit nullement à garantir qu'un vecteur aléatoire est
un vecteur gaussien comme le montre ! 'exemple suivant.
Exemple
Considérons, X une variable aléatoire de loi N(O; 1) et. T une variable aléatoire indépendante de X telle
que P(T = 1) = P(T = - 1) = 1/ 2. Nous pouvons m ont rer que Y = TX suit la loi N(O; 1) mais, en m ontrant
que P(X +Y = ()) t 0, que le vecteur aléatoire (X. Y) n'est pas un vecteur gaussien .
Notation: Nous notons N (µ ; :!:)la loi normale à f' ;;., 2 dimensions d'espéranceµ et de matrice
de variance-covariance I:. Dans le ca~ d'un vecteur gaussien, le paramètre de dispersion est la
variance et non l'écart-type comme nous l'avions défini dans le cas univarié.
2. PROPRIÉTÉS
T héorème: Les composantes d'un vecteur gaussien X sont indépendances si et seulement si I:,
qui représente la matrice de variance-covariance de X, est diagonale, c'est-à-dire si les composantes sont non corrélées.
3. EXISTENCE D'UNE DENSITÉ
T héorème : Si la matrice I: est inversible, alors le vecteur gaussien X admet pour densité
fx(x,, X? , ... , Xp ) =
1
Pl2 exp (-~'(x - µ):i::1 (x - µ)).
·
-
(2n)P12(dec :!:) -
2
Remarque
L'image d'un vecteur gaussien N (µ; •) par une application linéaire A est un vecteur gaussien N (Aµ;A•tA).
4. APPLICATION : MANIPULATION DE VECTEURS GAUSSIENS
[
4 2 3)
Soit (X, Y, Z) un vecteur aléatoire de loi N 3 (µ ; I) avecµ = (0, 2, 1) et r = 2 4 2 .
3 2 3
102