Fiche 34 • Espérance, variance et covariance - Conditionnement
a) Espérance conditionnelle
Soit (Q, '.7'", ll') un espace probabilisé, Y une variable aléatoire réelle intégrable et 8 un évènement
de probabilité non nulle. Nous appelons espérance conditionnelle de Y sachant B :
IB(YIB) = IB( lsY).
1!'(8)
Ainsi, si X est une variable aléatoire, IB(YIX) est une variable aléatoire qui donne l'espérance de
Y en fonction des réalisations possibles de X.
b) Variance conditionnelle
Soit (Q, r, Il') un espace probabilisé, Y une variable aléatoire réelle intégrable et 8 un évènement.
Nous appelons variance conditionnelle d e Y sachant B :
Var(YIB) = IB((Y -IB( Yl8))
2 18).
Ainsi, si X est une variable aléatoire, Var(YIX) est une variable aléatoire qui donne la variance
de Y en fonction des réalisations possibles de X.
c) Propriétés
1. En espérance, lespérance conditionnelle d'une variable aléatoire Y est toujours égale à
l'espérance non conditionnelle de cette variable:
IB(IB(YIX)) = IB( Y).
2. En espérance, la variance conditionnelle d'une variable aléatoire Y est touj ours inférieure
à la variance non conditionnelle de cette variable. Plus précisement, nous avons la relation
suivante:
Var( Y)= IB(VanYIX)) + Var(IB(YIX)).
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