34 Espérance, variance et covariance
Conditionnement
Mots clés ------------------------------~
Espérance. variance et covariance. espérance con dit ionnelle. variance condi tionnelle.
1. ESPÉRANCE., VARIANCE ET COVARIANCE
a) Espérance
Soit X = (xi., ... ,Xp) un vecteur aléatoire tel q ue c hacune de ses composantes X;, 1 .; i .; ''·
admette une espérance. Nous appelons esp ér an ce de X, le vecteur défini de la manière suivante :
IB(X) = µ = (1B(X 1 ), · · · , IB(Xp)).
b) Variance et covariance
Soit X = (x 1 ,X 2 , .. .• Xp) un vecteur aléatoire tel q ue chacun des couples de ses composantes
(X;, X j ), 1 .; i,j .; ''·admette une covariance. Nous appelons ma tri ce de variance-covaria nce
d e X la matrice définie de la manière suivante :
Var(X 1 ) Cov(X 1 ,X2) ... Cov(X 1 ,Xp)
Var(X) = r = Cov(X2, X1) Var(X2)
Cov(Xp.X1)
Var(Xp)
c) Remarques
1. Si A E .Mp(lR) et BE IR.P, IB(A X + B) = AIB(X) +B.
2. r est une matrice carrée symétriq ue réelle d'ordre I'·
3. r = IB(' XJ{) -'µµ.
4. Si A E .Mp(lR)et BE JRP, Var(AX + B) = AVar(X)'A.
S. Si les variables X; sont réduites,r s'identifie avec la matrice des corrélations linéaires.
1 R(X,, X2) ... R(X,, Xp)
1
2. ESPÉRANCE. ET VARIANCE CONDITIONNELLES
L'espérance et la variance conditionnelles de Y sachant X 1 , ... , X,, sont des variables aléatoires
donc les lois donnent la répartition des valeurs possibles de l'espérance et de la variance de Y pour
des valeurs fixées des variables aléatoires X,, . .. , X,,.
Exemples d 'espérance conditionnelle : L'espérance de vie d' un individu en fonction de son sexe
ou la masse moyenne d' un être humain en fonction de sa taille.
Exemple de vari ance conditionnelle : La variance de la ma~se d' un être humain en fonction de
sa taille.
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