33 Vecteurs aléatoires - Lois
marginales et conditionnelles
Mots clés ------------------------------~
f cteurs aléatoires, lo is marginales, lo is condi tionnell es ..
1. GÉNÉRALITÉS SUR LES VECTEURS ALÉATOIRES
a) Vecteur aléatoire
Définition : Un vecteur aléatoire X est une application de (Q,'.7'", IP) dans un espace vectoriel
réel, en général JRP muni de sa tribu borélienne.
En pratique, lR.P est muni de sa base canonique ec nous identifierons X au 11-uple de variables
aléatoires formé par ses composantes sur cette base X = (X 1 , ••• ,Xp).
b) Fonction de répartition et densité
Définition : La fonction de r épartition Fx est une application de JRP dans JRP définie par:
Fx(x,, ... ,xp) = 1P (X 1
li"Fx
fx (x 1 , ••• , Xp) = 0
0
(x,, . .. , Xp).
OX1 ... (IXp
c) Loi d'un vecteur
Le théorème suivant permet de définir des lois de probabilité à 11-dimensions à partir des lois
unidimensionnelles.
T héorème d e C r amer-Wold : La loi du vecteur aléatoire X est entièrement décermi née par celles
de coutes les combinaisons linéaires de ses composantes.
2. LOIS MARGINALES
Si X = (X 1 , ••• , Xp) est un vecteur aléatoire à valeurs dans JRP, la i-ème composante X; du vecteur aléatoire X est une variable aléatoire réelle. Nous pouvons trouver la loi marginale de la
variable aléatoire X; quand nous connaissons la loi du vecteur aléatoire X. Nous calcu Ions donc
les lois marginales du vecteur aléatoire X. Quitte à permuter i ec J, il suffie de calculer la loi de la
variable X 1 •
Nous allons donner la formule des lois marginales dans Je cas d' une variable aléatoire continue.
Définition (Fonnnle des lois marginales) : La densité de la loi de la variable aléatoire X 1 est
donnée par:
pour tout X E JR, fx, (X) = ( d .. r'2lfx3 · · · dxpfX (X, X2, ... , Xp).
lR.it-1
Remarque
À part ir de la l>0i du coup le (X Y). n ou s pouvons don c
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marginales et conditionnelles
Mots clés ------------------------------~
f cteurs aléatoires, lo is marginales, lo is condi tionnell es ..
1. GÉNÉRALITÉS SUR LES VECTEURS ALÉATOIRES
a) Vecteur aléatoire
Définition : Un vecteur aléatoire X est une application de (Q,'.7'", IP) dans un espace vectoriel
réel, en général JRP muni de sa tribu borélienne.
En pratique, lR.P est muni de sa base canonique ec nous identifierons X au 11-uple de variables
aléatoires formé par ses composantes sur cette base X = (X 1 , ••• ,Xp).
b) Fonction de répartition et densité
Définition : La fonction de r épartition Fx est une application de JRP dans JRP définie par:
Fx(x,, ... ,xp) = 1P (X 1
li"Fx
fx (x 1 , ••• , Xp) = 0
0
(x,, . .. , Xp).
OX1 ... (IXp
c) Loi d'un vecteur
Le théorème suivant permet de définir des lois de probabilité à 11-dimensions à partir des lois
unidimensionnelles.
T héorème d e C r amer-Wold : La loi du vecteur aléatoire X est entièrement décermi née par celles
de coutes les combinaisons linéaires de ses composantes.
2. LOIS MARGINALES
Si X = (X 1 , ••• , Xp) est un vecteur aléatoire à valeurs dans JRP, la i-ème composante X; du vecteur aléatoire X est une variable aléatoire réelle. Nous pouvons trouver la loi marginale de la
variable aléatoire X; quand nous connaissons la loi du vecteur aléatoire X. Nous calcu Ions donc
les lois marginales du vecteur aléatoire X. Quitte à permuter i ec J, il suffie de calculer la loi de la
variable X 1 •
Nous allons donner la formule des lois marginales dans Je cas d' une variable aléatoire continue.
Définition (Fonnnle des lois marginales) : La densité de la loi de la variable aléatoire X 1 est
donnée par:
pour tout X E JR, fx, (X) = ( d .. r'2lfx3 · · · dxpfX (X, X2, ... , Xp).
lR.it-1
Remarque
À part ir de la l>0i du coup le (X Y). n ou s pouvons don c
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