32 Ap proximations
Mots clés
Approximation de la loi hypergéométrique par la loi binomiale, approximation de la loi binomiale par la
loi de Poisson, approximation de la loi binomiale par la loi normale.
1. APPROXIMATION DE LA LOI HYPERGÉOMÉTRIQUE PAR LA LOI BINOMIALE
a) Contexte
Soit E un ensemble de N éléments, dont une proportion f' de type A. Nous effectuons /1 tirages
sans remise dans E. Soit XN le nombre d'éléments de type A obtenus. La variable aléatoire XN
suit alors la loi hypergéométriq ue 1{(N ;11; p). Alors la suite (XN)N>I converge en loi vers une
variable aléatoire de loi binomiale ' .13(11; I' ).
Remarque
Ainsi, lorsq ue N devient très grand, n et p restant f ixes, effectu er des tirages sans remise revient à
effectuer des tirages avec remise.
b) En pratique
La loi hypergéométrique 1{(N ;11; fJ) peut être approchée par la loi binomiale '.13(11; p) lorsque
N;;. 1011.
2. APPROXIMATION DE LA LOI BINOMIALE PAR LA LOI DE POISSON
a) Contexte
Soit À un nombre réel fixé dans (O; 1 ). Soit (X,,)n;, 1 une suite de variables aléatoires de loi binomiale '.13(11; fJ 11 ) telle q ue lim, 1 ~.,..111'" =À. Alors la. suite (X,,),,> 1 converge en loi vers une variable
aléatoire de loi de Poisson 1"(11).
b) En pratique
La loi binomiale ' .13(11; fJ) peut être approchée par la loi de Poisson 'Pf.111J) lorsque:
{
;; ~g.~
,,,, < 15
ou lorsque d'autres conditions données par l'énoncé sont vérifiées. Attention, dans certains cas,
lastuce sera d'approcher la loi binomiale ' .13(11; 1 - f') et non la loi binomiale ' .13(11; f' ).
3. APPROXIMATION DE LA LOI BINOMIALE PAR LA LOI NORMALE
a) Contexte
Soit (X,,),,> 1 une suite de variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli ' 13(_ I; p), OLl fJ E
JO; 1(. S,, = L:Z=, Xk suit la loi binomiale '13(_1qJ). Alors la suite
(
S,, -11p )
.,/11p( 1 - fJ) '1) 1
converge en loi vers une variable aléatoire de loi normale N(O ; 1 ).
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