Fiche 31 • Convergences et théorèmes limites
e) Remarques d'ordre général
1. JI existe d'autres types de convergence mais elles ne seront pa~ abordées ici.
2. La convergence en probabilité impliq ue la convergence en loi.
3. La convergence en loi est la plus utilisée en pratique car elle permet d'approcher la fonction
de répartition de Xn par celle de X lorsque /1 est« grand».
3. THÉORÈMES LIMITES
a) Loi faible des grands nombres
Soit (X,,),» 1 une suite de variables aléatoires de même loi sur un espace probabilisé (Q, 'T, IP),
deux à deux indépendantes, ayant une espéranceµ et une variance o-2. Posons :
-
1 ,,
X,,= - .L:x; .
Il i= I
Alors la suite (x,,) converge en probabilité vers la variable aléatoire constante et égale àµ.
n;t l
b) Théorème de la limite centrée
Soit (X,,),» 1 une suite de variables aléatoires de même loi sur un espace probabilisé (Q, 'T, IP),
deux à deux indépendantes, ayant une espéranceµ et une variance o-2.
L'étude de sommes de variables aléatoires indépendantes et identiq uement distribuées joue un
rôle capital en statistique. Le théorème ci -dessous, connu généralement sous le nom de théorème
central limite, établit la convergence en loi de la somme S,, = X 1 + · · · + X,, centrée par sa
moyenne et renormalisée son écart-type vers la loi normale N(O : 1 ). C'est Polyà qui, en 1920, a
désigné ce théorème par le nom de zemraler Grem.werrsarz, traduit en anglais par « central li mit
theorem »et en franglais par« théorème central limite».
Soit (X.),,> 1 une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, ayant
une espéranceµ et une variance o-2. Posons :
y - x,,- µ
" - cr/ Y,,.
Alors la suite (Y,,),,> 1 converge en loi vers une variable aléatoire de loi normale N(O : 1).
Remarque
Si les variables X; sont des vari ables de Berno ulli, n ou s retrouvon s comme cas part iculier la co nvergen ce
de la lo i b inomiale vers la loi de Laplace-Gauss.
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