Fiche 3 1 • Convergences et théorèmes limites
2. CONVERGENCES
li existe diverses façons de définir la convergence de (X. ),» 1 donc certaines jouent un rôle important dans le calcul des probabilités.
a) Convergence en loi
Soit (X,,),,> 1 u ne suite de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé (Q,9'", IP)
et (F. ),,> 1 la suite des fonctions de répartition correspondances. Soit X une variable aléatoire
définie sur le même espace probabilisé (Q,9'", IP) et Fx sa fonction de répartition. Nous disons
q ue la suite (X,,),,> 1 converge en loi vers X si, en cout point x de continuité de Fx, nous avons
lim F. (x) = Fx(x).
11 ~ +(1<)
Remarques
1. Pour des vari ables discrètes à valeu rs entières, la convergen ce en loi vers une variable discrète à
valeurs enti ères s'expri me par:
Vk e N. j~'J!, P(X,, = k) = P(X = k).
2. La sui te (Xn)n.)l converge en loi vers X si et seul em ent si pour tout couple de points a et b de continui té
de F, nou s avons :
j_!.'!, P(a
T héorème (de De Moivre-Laplace) : Si (X,,)n>I est une suite de variables binomiales ~(11: fJ),
X,,- 11p
alors, en notant q = 1 - ''' . = converge en loi vers la loi de Laplace-Gauss de moyenne
nulle et d'éca.rt-type égal à un.
·yllfJq
Remarque
La dém onstration de ce théorèm e utili se entre autre les deux fonctions caractéristiqu es des deu x lois :
celle de la loi b inomi ale et celle de la loi de Laplace-G.au ss.
c) Convergence en loi de la loi de Poisson vers la loi de Laplace-Gauss
X J- À
T héorème : Soit (XJ )J>O une famille de variables de Poisson 1"(11) alors si 1! -> +oo, VA
converge en loi vers la loi de Laplace-Gauss de moyenne nulle et d'écart-typeégal à un.
d) Convergence en probabilité
Soit (X,,)•>I u ne suite de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé (Q,9'", IP)
et X une variable aléatoire définie sur le même espace. Nous disons q ue la suite (X,,),,> 1 converge
en probabilité vers X si,
pourtout e > 0, lim Il' (IX. - XI ;;. e) =O.
1'~+ <»
Remarques
1. La convergence en p robabilité de la sui te (Xn)n)l vers une vari able aléatoire X comme la co nvergen ce
vers 0 de la suite ex. -Xln)l•
2. Lorsque E(Xn) _. a, il su ffit de montrer qu e V ar(X,,) _. 0 pour établir la convergen ce en p robabili té
de Xn vers a . En effet, d'après l'inégalité de Bi en aym é-Tchebych eff :
Va r(X,,)
P (IXn - E(X,,)1 > s ) .; ~·
Nous en déduison s donc sans difficulté qu e Xn - E (>Ç,) ten d vers 0 en probabili té, ce qui établi t le
résul tat ch erch é.
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2. CONVERGENCES
li existe diverses façons de définir la convergence de (X. ),» 1 donc certaines jouent un rôle important dans le calcul des probabilités.
a) Convergence en loi
Soit (X,,),,> 1 u ne suite de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé (Q,9'", IP)
et (F. ),,> 1 la suite des fonctions de répartition correspondances. Soit X une variable aléatoire
définie sur le même espace probabilisé (Q,9'", IP) et Fx sa fonction de répartition. Nous disons
q ue la suite (X,,),,> 1 converge en loi vers X si, en cout point x de continuité de Fx, nous avons
lim F. (x) = Fx(x).
11 ~ +(1<)
Remarques
1. Pour des vari ables discrètes à valeu rs entières, la convergen ce en loi vers une variable discrète à
valeurs enti ères s'expri me par:
Vk e N. j~'J!, P(X,, = k) = P(X = k).
2. La sui te (Xn)n.)l converge en loi vers X si et seul em ent si pour tout couple de points a et b de continui té
de F, nou s avons :
j_!.'!, P(a
T héorème (de De Moivre-Laplace) : Si (X,,)n>I est une suite de variables binomiales ~(11: fJ),
X,,- 11p
alors, en notant q = 1 - ''' . = converge en loi vers la loi de Laplace-Gauss de moyenne
nulle et d'éca.rt-type égal à un.
·yllfJq
Remarque
La dém onstration de ce théorèm e utili se entre autre les deux fonctions caractéristiqu es des deu x lois :
celle de la loi b inomi ale et celle de la loi de Laplace-G.au ss.
c) Convergence en loi de la loi de Poisson vers la loi de Laplace-Gauss
X J- À
T héorème : Soit (XJ )J>O une famille de variables de Poisson 1"(11) alors si 1! -> +oo, VA
converge en loi vers la loi de Laplace-Gauss de moyenne nulle et d'écart-typeégal à un.
d) Convergence en probabilité
Soit (X,,)•>I u ne suite de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé (Q,9'", IP)
et X une variable aléatoire définie sur le même espace. Nous disons q ue la suite (X,,),,> 1 converge
en probabilité vers X si,
pourtout e > 0, lim Il' (IX. - XI ;;. e) =O.
1'~+ <»
Remarques
1. La convergence en p robabilité de la sui te (Xn)n)l vers une vari able aléatoire X comme la co nvergen ce
vers 0 de la suite ex. -Xln)l•
2. Lorsque E(Xn) _. a, il su ffit de montrer qu e V ar(X,,) _. 0 pour établir la convergen ce en p robabili té
de Xn vers a . En effet, d'après l'inégalité de Bi en aym é-Tchebych eff :
Va r(X,,)
P (IXn - E(X,,)1 > s ) .; ~·
Nous en déduison s donc sans difficulté qu e Xn - E (>Ç,) ten d vers 0 en probabili té, ce qui établi t le
résul tat ch erch é.
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