31 Convergences
et théorèmes limites
Mots clés --------------------------------~
Convergence en loi, convergence en probabilité, inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchébychev,
loi faible des grands nombres, théorème de la limite centrée.
1. QUELQUES INÉGALITÉS
a) In égali té de Markov
Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (Q,'.r, ll') admettant un moment
d'ordre 1. Alors nous avons, pour tout e > 0:
Il' (IXI ;;. e) .; IB (IXD.
F:
b) In égali té de Bienaymé-Tchébychev
L'inégalité de Bienaymé-Tchébychev relie l'espérance et la variance.
Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (Q,'.r, ll') admettant un moment
d'ordre 2. Alors nous avons, pour tout e > 0 :
Remarques
Var( X)
Il' (IX - IB(X)I ;;. e) .; ~·
1. Cette inégalité est générale, mais assez grossière. Par exemple, pour la loi normale N(JJ; u ), nous
avons les résultats suivants :
,,.,
P (IX - µ I;> 2u ) ~ 2(1 - 0,9772) ~ 0,05
et 4 ,,.,
1
P (IX - µ1;> 3uJ ~ 2(1 - 0.9987) ~ 0.0027 et 9u2 = 9·
2. L'inégali té de Bienaym~ Tchébychev peut se généraliser aux moments centrés d'ordre k. Soit X une
variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (Q T. P) admettant un moment d'ordre k. Alors
no us avons .. pour tout s > 0 :
P (IX - E(X)I ;. s) .; m~XJ.
Cas particulier : variables aléatoires de Bernoulli
Soit X 1 , ••• ,X,,, 11 variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées qui suivent une
-
1 11
loi de Bernolllli 23( 1, 11). Posons Xn = - LX;. Alors nous avons, pour toute > 0:
Il i= I
(
-
)
1>(1 - 11)
1
Il' IX,, - 111 ;;. e .; - - ?- .; - - ? •
Ile"
4 111':"
La dernière inégalité provient du fait que la fonction de (O; 1) dans IR qui à I' a~socie p( 1 - 11) est
maximale pom I' = 1/2 et vaut alors 1/4.
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