Fiche 30 • Fonctions caractéristiques
T héorème : Si k l fx(x) = ~ l 3. THÉORÈME DE LEVY·CRAMER·DUGUÉ
T héorème : Si X,,-> X en loi alors Si la suite des fonctions caractéristiques est continue à l'origine, alors cp est une fonction caractéristique et la suite (X,,),,,N converge en loi
vers une variable aléatoire X donc cp est la fonction caractéristiq ue.
4. FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES DES LOIS USUELLES
a) Lois discrètes
• Loi de Bernoulli 23(1; f'): • Loi binomiale 23(11; fi): • Loi de Poisson 1"(11): P(J)(I) = exp(-1l)exp(1lexp(i1)).
b) Lois continues
. ..
~~
• Loi uniforme sur (-a; +a) 'U((- a;+a)): .
1l"
• Loi gamma T(r; A) : (
,2)
• Loi de Laplace-Gauss N(O; 1) : (
12q2)
• Loi de Laplace-Gauss N(µ ; 92