30 Fonctions caractéristiques
Mots clés ------------------------------~
Fonction caracté ri stique, p ropriétés, théorème de Levy-Cramer·Dugué.
1. DÉFINITION
a) Définition générale
La fonction caractér is tique d ' une variable aléatoir e r éelle X est la transformée de Fourier de
sa loi de probabilité. Souvent, elle est notée x et nous avons, pour tout 1 réel:
x(r) = IB (exp (irX)) = L exp(irx)dl!'x(x).
Remarques
1. Cette fon ct.ion existe toujou rs !
2. Cette fon ct.ion est continue.
b) Définition lorsque X est continue
Lorsque la variable X est une variable aléatoire continue, la fonction caractér is tique devient,
pour tout 1 réel :
x(r) = IB (exp(irX)) = L exp(irx)fx(x)dx.
2. PROPRIÉTÉS
a) Fonction caractéristique d'une forme linéaire
Nous avons les deux propriétés suivantes :
VA E lll,Vr E lll, Jx(r) =x(Ar) et VaE IR, VrE lll x .. (r) =exp(ira)x{r).
b) Convolution
La fonction caractéristiq ue d' une somme de deux variables aléatoires indépendantes X et Y est
égale au produit de leurs fonctions caractéristiq ues, c'est-à-dire:
Vr E Ill, x+r(r) = x(r) x r(r).
c) Unicité
Deux variables ayant même fonction caractéristique ont même loi de probabilité. La fonction
caractéristiqLLe détermine donc de manière unique une distribution de probabilité.
d) Inversion
La formule d'inversion de la transformée de Fourie. r permet d'obtenir la loi de X connaissantx(r).
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