CHAPITRE 04 : PRESENTATION THEORIQUE DES METHODES
STATISTIQUES : REGRESSION MULTIPLE
36
(2). Les résidus e i
n
i ≤
≤
1
sont de variances égales.
(3). Les résidus e i
n
i ≤
≤
1
ne sont pas autocorrélée COV (x i , y i ) ≠0.
(4). Les résidus sont non-corrélés à la variable exogène X.
4.3.1.5. Coefficient de détermination : Le coefficient de détermination c’est la
quantité :
2
1
)
(
Y
Y
n
i
i −
∑
=
,
qui représente la somme des carrés des déviations des (y i ) par rapport à leur moyenne, peut
être décomposée de la manière suivante :
SSE
SSR
Y
Y
Y
Y
Y
Y
SST
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
+
=
−
+
−
=
−
=
∑
∑
∑
=
=
=
2
1
2
1
2
1
)
ˆ
(
)
ˆ
(
)
(
(3.8)
SST est la somme des carrés totale, SSR la somme des carrés de la régression et SSE la
somme des carrés des résidus. On résume l’équation (3.8) par la formulation suivante :
SST
SSE
Y
Y
Y
Y
SST
SSR
R
i
−
=
−
−
=
=
∑
∑
1
)
(
)
(
2
^
2
^
2
(3.9.a)
Où R
2 est le coefficient de détermination défini en (II.1), qu’on peut expliquer par
totale
Variance
résiduelle
1
totale
Variance
expliquée
Variance
²
Variavce
R
−
=
=
(3.9.b)
Il exprime la part de la variance expliquée par le modèle. C'est le premier critère que l'on
regarde dans une régression. On essaie de trouver la combinaison de variables qui maximise le
R
2 . Un bon ajustement correspondra à un R
2 proche de l'unité.
4.3.1.6. Validation de la droite de régression :
La validation de la droite de régression consiste à vérifier si les conditions de régression
citées en sous section 4.3.1.4 sont respectées.
4.3.1.6.1. Normalité des résidus : pour vérifier la normalité des résidus on peut procéder
graphiquement ou à partir d’un test d’ajustement ;
Diagramme Q-Q plot:
Le graphique Q-Q plot (quantile-quantile plot) est un graphique "nuage de points" qui vise à
confronter les quantiles de la distribution empirique et les quantiles d'une distribution
théorique normale, de moyenne et d'écart type estimés sur les valeurs observées. La linéarité
ou la quasi-linéarité est un indice de série de normalité étudiée.
Test de Shapiro-Wilk:
Le test de la normalité le plus puissant. L’hypothèse nulle est H 0 : normalité des résidus
Il nécessite le calcul de la valeur suivante :
STATISTIQUES : REGRESSION MULTIPLE
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(2). Les résidus e i
n
i ≤
≤
1
sont de variances égales.
(3). Les résidus e i
n
i ≤
≤
1
ne sont pas autocorrélée COV (x i , y i ) ≠0.
(4). Les résidus sont non-corrélés à la variable exogène X.
4.3.1.5. Coefficient de détermination : Le coefficient de détermination c’est la
quantité :
2
1
)
(
Y
Y
n
i
i −
∑
=
,
qui représente la somme des carrés des déviations des (y i ) par rapport à leur moyenne, peut
être décomposée de la manière suivante :
SSE
SSR
Y
Y
Y
Y
Y
Y
SST
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
+
=
−
+
−
=
−
=
∑
∑
∑
=
=
=
2
1
2
1
2
1
)
ˆ
(
)
ˆ
(
)
(
(3.8)
SST est la somme des carrés totale, SSR la somme des carrés de la régression et SSE la
somme des carrés des résidus. On résume l’équation (3.8) par la formulation suivante :
SST
SSE
Y
Y
Y
Y
SST
SSR
R
i
−
=
−
−
=
=
∑
∑
1
)
(
)
(
2
^
2
^
2
(3.9.a)
Où R
2 est le coefficient de détermination défini en (II.1), qu’on peut expliquer par
totale
Variance
résiduelle
1
totale
Variance
expliquée
Variance
²
Variavce
R
−
=
=
(3.9.b)
Il exprime la part de la variance expliquée par le modèle. C'est le premier critère que l'on
regarde dans une régression. On essaie de trouver la combinaison de variables qui maximise le
R
2 . Un bon ajustement correspondra à un R
2 proche de l'unité.
4.3.1.6. Validation de la droite de régression :
La validation de la droite de régression consiste à vérifier si les conditions de régression
citées en sous section 4.3.1.4 sont respectées.
4.3.1.6.1. Normalité des résidus : pour vérifier la normalité des résidus on peut procéder
graphiquement ou à partir d’un test d’ajustement ;
Diagramme Q-Q plot:
Le graphique Q-Q plot (quantile-quantile plot) est un graphique "nuage de points" qui vise à
confronter les quantiles de la distribution empirique et les quantiles d'une distribution
théorique normale, de moyenne et d'écart type estimés sur les valeurs observées. La linéarité
ou la quasi-linéarité est un indice de série de normalité étudiée.
Test de Shapiro-Wilk:
Le test de la normalité le plus puissant. L’hypothèse nulle est H 0 : normalité des résidus
Il nécessite le calcul de la valeur suivante :