CHAPITRE 04 : PRESENTATION THEORIQUE DES METHODES
STATISTIQUES : REGRESSION MULTIPLE
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4.3.1.2. Estimation des paramètres :
Déterminer la régression revient à estimer les paramètres β
α, . En se basant sur
l’échantillon d’observation {
}
n
i
y
x i
i
≤
≤
1
),
,
(
.
On choisit comme procédé d’estimation la méthode des moindres carrés. Elle consiste à
minimiser la somme des carrés des écarts entre la droite de régression
i
X
Y
β
α +
=
^
(3.2)
Et les observations i
y
C’est à dire
∑
=
−
n
i
i
i
y
y
Min
1
2
^
)
(
(3.3)
Les estimateurs obtenus de la droite de régression sont donnés par ces deux formules :
∑
∑
−
−
−
=
2
^
)
(
)
)(
(
x
x
y
y
x
x
i
i
i
α
(3.4)
x
y
^
^
α
β
−
=
(3.5)
4.3.1.3. Tests d'hypothèses sur α ou β .
On propose de tester l'hypothèse nulle
H0 :
0
=
α
contre l'alternative H 0 :
0
≠
α
. On calculera tout d'abord la statistique associée à ce
test
∑
=
−
−
=
n
i
i
X
x
S
t
1
2
2
)
(
0
α
(3.6)
Sous l'hypothèse nulle, t a une distribution de Student à n-2 degrés de liberté. |t| sera ensuite
comparé au seuil critique t que l'on trouvera dans une table de Student.
Si t obs > t seuil ; l’hypothèse H 0 est rejetée au risque d’erreur α
Dans le teste de ß, Les hypothèses à tester sont : H 0 :
0
=
β
.contre l’alternative :
0
≠
β
on
va utilisée la statistique suivante :
2
1
2
2
2
)]
)
(
1
(
[
0
x
x
x
n
S
t
i
obs
−
+
−
=
∑
β
(3.7)
t de β a la même distribution que celle de α
4.3.1.4. Conditions de la régression linéaire :
En considérant l’équation de régression donnée par (3.1), les estimateurs exprimés par
(3.2.a) et (3.2.b) sont valides sous les conditions :
(1). Les résidus e i
n
i ≤
≤
1
sont de distributions normales.