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Dynamique d’un système de particules
indiquant par conséquent que les forces intermoléculaires dans les gaz sont négligeables,
sauf si les molécules sont étroitement serrées ou si la temperature est tres basse.
Le point intéressant dans l’Eq. (9.61) est qu’elle exprime clairement l’effet des
forces moléculaires sur la pression du gaz. Nous voyons par exemple que si les forces
intermoléculaires sont attractives, tous les produits F,-,- r,,—
sont negatifs, de sorte que
le membre de droite de l’Eq. (9.61) sera plus petit que pour un gaz parfait, entraînant
une pression plus faible, résultat en accord avec notre intuition physique.
EXEMPLE 9.16.
Obtenir l’équation d’état d’un gaz parfait en calculant directement la
pression exercée par le gaz sur les parois du récipient.
Soiution: l’étudiant peut se rappeler que la pression que le jet de gaz de l’exemple 9.2
exerce sur la surface A de la paroi est
2
2
_
F
_
2Anmv cos 0
_
2nm02 cos26
p _
A
_
A
)
où 1) cos 6 est la composante de la vitesse des molécules suivant la normale à la paroi. On
obtient ainsi la pression produite par les molécules se déplaçant dans une direction qui
fait l’angle 9 avec la normale. Dans ce cas, n n’est donc pas le nombre total de molécules
par unité de volume, mais le nombre de celles qui se déplacent dans la direction indiquée.
Nous devrions donc commencer par chercher quelle est la fraction de molécules qui se déplacent suivant l’angle 9 avec la normale et ajouter (en réalité intégrer) leurs contributions
pour toutes les directions. Nous allons nous y prendre autrement sous une forme plus simple et
plus intuitive qui donne en principe le même résultat.
Nous pouvons supposer sans risque d’erreur que statistiquement, à un instant donné, la moitié
des molécules ont une composante de leur vitesse dirigée vers le mur et l’autre moitié dirigée
en sens inverse. Nous pouvons donc remplacer n par n/ 2, puisqu’il n’y aura que n/ 2 molécules
a frapper la paroi. De plus, si la paroi est le rectangle ABCD de la Fig. 9 —19, v cos 9 est alors
la composante uJC de la vitesse suivant l’axe des X, c’est—à-dire la normale au plan que nous
avons choisi. En faisant ces modications dans l’expression précédente de p, nous obtenons
p = 2(%n)mvî.
La
de la vitesse
eSt ”2 = UÎ + v_Î + vî‘. Nous devons en réalité utiliser la valeur
moyenne
et par consequent oâm
:
vâqm +
+ uäqm. Nous pouvons cependant supposer
que
sr le gaz est2homogene
les directions des vitesses des molécules sont distribuées de maniere
ISOÜOPe- Done Ux,qm : Uîqm =
et par suite UÏ_qm : uâ… / 3. En faisant ces substitutions
dans l’express1on de p, nous avons alors
=
i
2
2
1 N
P
2(w)m(äv qm) = âmv … =
ë Ÿ
mvzqm,
puisque n = N/ V, N étant le nombre total de molécules et V le volume. Donc
pV : %Nmü2qm.
iî reÉultat c01ncide
avec
(9.58), sauf que le terme correspondant aux forces intérieures
métlÎ âenä
et que
par consequent l’expression correspond à un gaz parfait. L’avantage dela
0
e
u
v1r1el eSt qu elle nous montre clairement comment tenir compte des forces inter-
Dynamique d’un système de particules
indiquant par conséquent que les forces intermoléculaires dans les gaz sont négligeables,
sauf si les molécules sont étroitement serrées ou si la temperature est tres basse.
Le point intéressant dans l’Eq. (9.61) est qu’elle exprime clairement l’effet des
forces moléculaires sur la pression du gaz. Nous voyons par exemple que si les forces
intermoléculaires sont attractives, tous les produits F,-,- r,,—
sont negatifs, de sorte que
le membre de droite de l’Eq. (9.61) sera plus petit que pour un gaz parfait, entraînant
une pression plus faible, résultat en accord avec notre intuition physique.
EXEMPLE 9.16.
Obtenir l’équation d’état d’un gaz parfait en calculant directement la
pression exercée par le gaz sur les parois du récipient.
Soiution: l’étudiant peut se rappeler que la pression que le jet de gaz de l’exemple 9.2
exerce sur la surface A de la paroi est
2
2
_
F
_
2Anmv cos 0
_
2nm02 cos26
p _
A
_
A
)
où 1) cos 6 est la composante de la vitesse des molécules suivant la normale à la paroi. On
obtient ainsi la pression produite par les molécules se déplaçant dans une direction qui
fait l’angle 9 avec la normale. Dans ce cas, n n’est donc pas le nombre total de molécules
par unité de volume, mais le nombre de celles qui se déplacent dans la direction indiquée.
Nous devrions donc commencer par chercher quelle est la fraction de molécules qui se déplacent suivant l’angle 9 avec la normale et ajouter (en réalité intégrer) leurs contributions
pour toutes les directions. Nous allons nous y prendre autrement sous une forme plus simple et
plus intuitive qui donne en principe le même résultat.
Nous pouvons supposer sans risque d’erreur que statistiquement, à un instant donné, la moitié
des molécules ont une composante de leur vitesse dirigée vers le mur et l’autre moitié dirigée
en sens inverse. Nous pouvons donc remplacer n par n/ 2, puisqu’il n’y aura que n/ 2 molécules
a frapper la paroi. De plus, si la paroi est le rectangle ABCD de la Fig. 9 —19, v cos 9 est alors
la composante uJC de la vitesse suivant l’axe des X, c’est—à-dire la normale au plan que nous
avons choisi. En faisant ces modications dans l’expression précédente de p, nous obtenons
p = 2(%n)mvî.
La
de la vitesse
eSt ”2 = UÎ + v_Î + vî‘. Nous devons en réalité utiliser la valeur
moyenne
et par consequent oâm
:
vâqm +
+ uäqm. Nous pouvons cependant supposer
que
sr le gaz est2homogene
les directions des vitesses des molécules sont distribuées de maniere
ISOÜOPe- Done Ux,qm : Uîqm =
et par suite UÏ_qm : uâ… / 3. En faisant ces substitutions
dans l’express1on de p, nous avons alors
=
i
2
2
1 N
P
2(w)m(äv qm) = âmv … =
ë Ÿ
mvzqm,
puisque n = N/ V, N étant le nombre total de molécules et V le volume. Donc
pV : %Nmü2qm.
iî reÉultat c01ncide
avec
(9.58), sauf que le terme correspondant aux forces intérieures
métlÎ âenä
et que
par consequent l’expression correspond à un gaz parfait. L’avantage dela
0
e
u
v1r1el eSt qu elle nous montre clairement comment tenir compte des forces inter-