Hill)
264
Dynamique d’un système de particules
dérivée par rapport au temps de cette expression, nous obtenons
dL
dLCG
d…
drœ
_=————
M
><———
M———Xv
.
dt
dt
+
dt
+
dt
CG
Nous nous rappelons que drCG/dt = va}, de sorte que le dernier terme est nul et, en utilisant
‘
l’Eq. (9.9)(c’est-à—dire F… = M dvœ/dt), nous obtenons
—
dL
dL
,
—d—t—
=
TCG
X FextEn substituant les expressions de dL/dt et de Text, que nous venons d’obtenir, dans l’Eq. (9.21),
nous nous apercevons que:
dL
__dtî‘î
:
TCG(9.25)
.
Cette relation est formellement identique à l’Eq. (9.21), mais il y a quelques différences
.
essentielles. L’équation (9.21) n’est valable que si le moment cinétique et le moment des forces sont
évalués par rapport à un point xe d’un référentiel d’inertie, d’habitude l’origine des coordonnées.
,
Par ailleurs, l’Eq. (9.25) s’applique au centre de gravité, même s’il n’est pas au repos dans un
.
référentiel d’inertie. Bien que cette équation ait été démontrée pour deux particules, elle s’applique
à un système formé d’un nombre quelconque de particules. Elle est particulièrement utile pour
_
étudier le mouvement d’un solide.
9.5
Energie cinétique d’un système de particules
Considérons un système formé de deux particules de masses m1 et m2, soumises aux»
forces extérieures F1 et F
2
et aux forces intérieures F12 et F
21.
A un instant donné, elles
ont des positions indiquées sur la Figure 9—10, et se déplacent avec des vitesses 01 et
v2 suivant leurs trajectoires C1 et C2. L’équation du mouvement de chaque particule
s’écrit:
mlal = F1+ F12,
(926)
m2a2=F2+F21.
Pendant un très petit intervalle de temps dt, les particules se déplacent de dr1 et dr2
_
tangent1ellement a leurs trajectoires. Quand nous formons les produits scalaires de l’Eq._
(9.26), le premier avec dr1 et le second avec dr2, nous avons
m10l1'dr1=Fi'Giï1—l—F12'dri,
'
et
_
'
m202'dr2=F2’dr2+Fgl‘dr2.
En ajoutant ces deux équations et en nous rappelant que F12 : —F21, nous obtenons
m1€l1 ' dr1 + m2a2 — dr2 = F1- dr1—l— F2 — dr2 + F12 -(dr1- dr2)._Ï
(9.27)2)
f. :
264
Dynamique d’un système de particules
dérivée par rapport au temps de cette expression, nous obtenons
dL
dLCG
d…
drœ
_=————
M
><———
M———Xv
.
dt
dt
+
dt
+
dt
CG
Nous nous rappelons que drCG/dt = va}, de sorte que le dernier terme est nul et, en utilisant
‘
l’Eq. (9.9)(c’est-à—dire F… = M dvœ/dt), nous obtenons
—
dL
dL
,
—d—t—
=
TCG
X FextEn substituant les expressions de dL/dt et de Text, que nous venons d’obtenir, dans l’Eq. (9.21),
nous nous apercevons que:
dL
__dtî‘î
:
TCG(9.25)
.
Cette relation est formellement identique à l’Eq. (9.21), mais il y a quelques différences
.
essentielles. L’équation (9.21) n’est valable que si le moment cinétique et le moment des forces sont
évalués par rapport à un point xe d’un référentiel d’inertie, d’habitude l’origine des coordonnées.
,
Par ailleurs, l’Eq. (9.25) s’applique au centre de gravité, même s’il n’est pas au repos dans un
.
référentiel d’inertie. Bien que cette équation ait été démontrée pour deux particules, elle s’applique
à un système formé d’un nombre quelconque de particules. Elle est particulièrement utile pour
_
étudier le mouvement d’un solide.
9.5
Energie cinétique d’un système de particules
Considérons un système formé de deux particules de masses m1 et m2, soumises aux»
forces extérieures F1 et F
2
et aux forces intérieures F12 et F
21.
A un instant donné, elles
ont des positions indiquées sur la Figure 9—10, et se déplacent avec des vitesses 01 et
v2 suivant leurs trajectoires C1 et C2. L’équation du mouvement de chaque particule
s’écrit:
mlal = F1+ F12,
(926)
m2a2=F2+F21.
Pendant un très petit intervalle de temps dt, les particules se déplacent de dr1 et dr2
_
tangent1ellement a leurs trajectoires. Quand nous formons les produits scalaires de l’Eq._
(9.26), le premier avec dr1 et le second avec dr2, nous avons
m10l1'dr1=Fi'Giï1—l—F12'dri,
'
et
_
'
m202'dr2=F2’dr2+Fgl‘dr2.
En ajoutant ces deux équations et en nous rappelant que F12 : —F21, nous obtenons
m1€l1 ' dr1 + m2a2 — dr2 = F1- dr1—l— F2 — dr2 + F12 -(dr1- dr2)._Ï
(9.27)2)
f. :