226
Travail et énergie
C’est une expression générale qui donne le moment dans une direction perpendiculaire
au plan dans lequel l’angle 6 est mesuré. Comme un moment produit une variation
correspondante du moment cinétique [cf. Eq. (7.38)l, nous concluons que
lorsque l’énergie potentielle dépend d’un angle, un moment est appliqué
au
système, produisant une variation du moment cinétique dans une
direction perpendiculaire au plan de l’angle.
Note sur la notion de gradient.
Nous rencontrerons souvent des expressions en physique
semblables à l’Eq. (8.24); il est donc important d’avoir une idée claire de ce que signie le
gradient. Considérons une fonction V(x, y, 2) qui dépend des trois coordonnées d’un point.
Nous traçons les surfaces
V(r,y,z) = Cl
et
V(x, y, z) = 02
»
(Fig. 8—16). En se déplaçant d’un point A sur C1 à un point B quelconque sur C2, la fonction
V subit toujours une variation C2 — Cl. Si 02 et C1 ne diffèrent que d’une quantité inniment
petite, nous pouvons écrire dV = C2 — Cl. La variation de V par unité de longueur, ou « dérivée
directionnelle >> de V, est
dV/ds = (02 — CÙ/ds.
Considérons le cas où A et B se trouvent sur une normale N commune aux deux surfaces.
La dérivée directionnelle suivant la normale AN est dV/dn. Par ailleurs, d’après la Fig. 8—16,
nous voyons que dn = ds cos 9. Donc
dV
dV dn
dV
-—
=
——
——
=
—cos6,
ds
dn ds
dn
équation qui relie la dérivée directionnelle suivant la normale à la dérivée directionnelle suivant
une autre direction quelconque. Comme cos 6 est maximum pour 0 = 0, nous en concluons que
dV/dn est la valeur maximum de la dérivée directionnelle de V. En introduisant le vecteur
Z
N
D
V=C2
/
\\=
B/
//
//
\\\
V
('
/
:
B
/
'1
;dn //d3
/
Fig. 8—16.
Le gradient de V(x, % z) est une
A
\
fonction vectorielle qui en chaque point est
Y
perpendiculaire à la surface V =
X