92
Cinématique
Ë
calculer la valeur limite de la fraction apparaissant dans l’Eq. (5.1), quand le dénominateur At tend vers zéro. Ceci s’écrit sous la forme
.
A.v
p :
lim vmn :
lun -— -
'
,
At—>O
y
At—>0
At
_Ce n’est autre que la dénition de la dérivée de x par rapport au temps; c’est—à-dire
da:
r
-
::
——
0.2
'
Z)
dt
;
<
)
de. sorte que nous obtenons la vitesse instantanée en calculant la dérivée du déplacement
par rapport au temps. Pratiquement, on trouve la vitesse instantanée en observant le
corps en mouvement en deux positions très voisines séparées par la petite distance dit
et en mesurant le petit intervalle de temps dt nécessaire pour aller d’une position à l’autre.
Par la suite, le terme « vitesse » se rapportera toujours à la vitesse instantanée.
Si nous connaissons v = f(t), nous pouvons résoudre l’Eq. (5.2) pour la variable
_
x par intégration. D’après l’Eq. (5.2), nous avons en effet dx = v dt; en intégrant, nous
obtenons alors
15
t
-
.
/
da; = /
v dt,
_
.
1120
10
,
où x0 désigne la valeur de x au temps to. Et, puisque
dx =
x
—
x0,
z
_
.
a: : :t0 +
]
vdt.
(5-3)
10
Pour comprendre la signication physique de l’Eq. (5.3), l’étudiant devrait se rendre
compteque'
v dt représente le déplacement du corps dans le court intervalle
de temps
dt. Auss1, en divisant l’intervalle de temps t — to en petits intervalles successifs dt],
dt2,
.,
nous trouvons que les déplacements correspondants sont v1 dt1, 02 dt2,
v3 dt3, . . . , et que le deplacement total entre t0 et t en est la somme. On devrait remarquer
——que vl, v2, 03, . . . sont_les valeurs de la vitesse durant chaque intervalle de temps. D’après
_
la srgmcation d’une intégrale dénie, on a alors,
‘
Deplacement
:
x _ 330 = 01 dt1 + 02 dt2 + 03 dts + ‘ ' '
,
.
.
=Zvidti=/
vdt.
_
_
'
Ce déplacement
eSt-bien'entendu x — x0, en accord avec l’Eq. (5.3). Nous devons
.
observer que le deplacement
Ax (Ou dx) ”peut être positif—ou négatif suivant que le mouvement dela ‘Partlcule -95t ÿÇIS
la
vers la gauche, aVec pour conséquence un signe
plus ou moins pour
la Vitesse. Ainsi le signe de la vitesse dans un mouvement rectiligne
1nd1_Q}JÇ—tf1l la d1rectmndu mouvement. La direction est suivant + OX si la vitesse est
_
pos1t1ve et survant ‘— OX si elle ”est négative,
,
.
On utilise quelquefois une autre
notion de vitesse, dénie comme le rapport distace/
temps.
Elle est toujours pos1t1ve et numeriquem‘ent égale àla valeur absolue de la
Cinématique
Ë
calculer la valeur limite de la fraction apparaissant dans l’Eq. (5.1), quand le dénominateur At tend vers zéro. Ceci s’écrit sous la forme
.
A.v
p :
lim vmn :
lun -— -
'
,
At—>O
y
At—>0
At
_Ce n’est autre que la dénition de la dérivée de x par rapport au temps; c’est—à-dire
da:
r
-
::
——
0.2
'
Z)
dt
;
<
)
de. sorte que nous obtenons la vitesse instantanée en calculant la dérivée du déplacement
par rapport au temps. Pratiquement, on trouve la vitesse instantanée en observant le
corps en mouvement en deux positions très voisines séparées par la petite distance dit
et en mesurant le petit intervalle de temps dt nécessaire pour aller d’une position à l’autre.
Par la suite, le terme « vitesse » se rapportera toujours à la vitesse instantanée.
Si nous connaissons v = f(t), nous pouvons résoudre l’Eq. (5.2) pour la variable
_
x par intégration. D’après l’Eq. (5.2), nous avons en effet dx = v dt; en intégrant, nous
obtenons alors
15
t
-
.
/
da; = /
v dt,
_
.
1120
10
,
où x0 désigne la valeur de x au temps to. Et, puisque
dx =
x
—
x0,
z
_
.
a: : :t0 +
]
vdt.
(5-3)
10
Pour comprendre la signication physique de l’Eq. (5.3), l’étudiant devrait se rendre
compteque'
v dt représente le déplacement du corps dans le court intervalle
de temps
dt. Auss1, en divisant l’intervalle de temps t — to en petits intervalles successifs dt],
dt2,
.,
nous trouvons que les déplacements correspondants sont v1 dt1, 02 dt2,
v3 dt3, . . . , et que le deplacement total entre t0 et t en est la somme. On devrait remarquer
——que vl, v2, 03, . . . sont_les valeurs de la vitesse durant chaque intervalle de temps. D’après
_
la srgmcation d’une intégrale dénie, on a alors,
‘
Deplacement
:
x _ 330 = 01 dt1 + 02 dt2 + 03 dts + ‘ ' '
,
.
.
=Zvidti=/
vdt.
_
_
'
Ce déplacement
eSt-bien'entendu x — x0, en accord avec l’Eq. (5.3). Nous devons
.
observer que le deplacement
Ax (Ou dx) ”peut être positif—ou négatif suivant que le mouvement dela ‘Partlcule -95t ÿÇIS
la
vers la gauche, aVec pour conséquence un signe
plus ou moins pour
la Vitesse. Ainsi le signe de la vitesse dans un mouvement rectiligne
1nd1_Q}JÇ—tf1l la d1rectmndu mouvement. La direction est suivant + OX si la vitesse est
_
pos1t1ve et survant ‘— OX si elle ”est négative,
,
.
On utilise quelquefois une autre
notion de vitesse, dénie comme le rapport distace/
temps.
Elle est toujours pos1t1ve et numeriquem‘ent égale àla valeur absolue de la