Télédétection et ressources en eau/Remote sensing and water resources
421
continuité relie le stockage dans le bassin (S), le signal entrant qui est la pluie (I) et le signal
sortant qui est le débit :
dS
dt
I Q
= −
(1)
Fonction de réponse impulsionnelle
La réponse d’un système linéaire est nécessairement caractérisée par sa fonction de réponse
impulsionnelle. Si à l’instant τ, le système reçoit instantanément une unité de signal entrant de
durée infiniment courte (impulsion unitaire), sa réponse à l’instant τ est décrite par une fonction
de réponse à une impulsion unitaire u(t-τ) (figure 1). Conformément aux principes de
proportionnalité et d’additivité, pour un système d’entrée quelconque I(t), la réponse du système
est donnée par l’intégrale de convolution :
( ) ( )
Q t
I
t
( ) = ∫ τ τ τ
0
u t - d
(2)
Pour l’application en hydrologie, les solutions sont attendues à des intervalles discrets car le
signal d’entrée lui-même est une fonction discrétisée dans le temps comme c’est le cas de la pluie.
La manipulation d’un tel signal nécessite deux autres fonctions : la fonction de réponse indicielle
et la fonction de réponse à un signal discrétisé.
Fonction de réponse à un échelon unitaire ou de réponse indicielle
Un signal d’entrée en échelon unitaire passe de 0 à 1 à partir du temps 0 et continue indéfiniment
à ce niveau. La sortie du système, c’est-à-dire sa fonction de réponse à un échelon unitaire g(t),
est obtenue à partir de l’équation (2) en considérant I(τ) = 1 pour τ ≥ 0 :
( ) ( )
( )
( )
Q t g t
u t
t
=
=
−
∫
∫
τ τ
0
d = u l dl
0
t
en prenant l = t - τ et dl = - dτ
(3)
Fonction de réponse à un signal discrétisé
Un signal d’entrée discret unitaire est l’entrée de valeur unitaire en ∆t de niveau :
( )
I
t
τ =
1
∆
pour 0 ≤ τ ≤ ∆t
(4)
Ainsi la fonction réponse à un signal discret unitaire est :
( )
( ) (
)
[
]
( )
( )
( )
h t
t
g t g t
t
t
u l
u l
t
u l
t
t
=
−
−
=
=
∫
∫
∫
1
1
1
0
∆
∆
∆
∆
∆
∆
dl -
dl
dl
0
t - t
t - t
(5)
Cette équation constitue la base de l’utilisation en hydrologie d’un système linéaire en temps
discret.
Application en hydrologie
Le signal d’entrée qui est la pluie, au pas de temps m∆t, est déterminé en représentation discrète
par :
( )
( )
( )
P
P m t
I t
m
m
t
m t
=
= −
∫
∆
∆
∆
dt
1
pour m = 1, 2, 3, ...
(6)
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continuité relie le stockage dans le bassin (S), le signal entrant qui est la pluie (I) et le signal
sortant qui est le débit :
dS
dt
I Q
= −
(1)
Fonction de réponse impulsionnelle
La réponse d’un système linéaire est nécessairement caractérisée par sa fonction de réponse
impulsionnelle. Si à l’instant τ, le système reçoit instantanément une unité de signal entrant de
durée infiniment courte (impulsion unitaire), sa réponse à l’instant τ est décrite par une fonction
de réponse à une impulsion unitaire u(t-τ) (figure 1). Conformément aux principes de
proportionnalité et d’additivité, pour un système d’entrée quelconque I(t), la réponse du système
est donnée par l’intégrale de convolution :
( ) ( )
Q t
I
t
( ) = ∫ τ τ τ
0
u t - d
(2)
Pour l’application en hydrologie, les solutions sont attendues à des intervalles discrets car le
signal d’entrée lui-même est une fonction discrétisée dans le temps comme c’est le cas de la pluie.
La manipulation d’un tel signal nécessite deux autres fonctions : la fonction de réponse indicielle
et la fonction de réponse à un signal discrétisé.
Fonction de réponse à un échelon unitaire ou de réponse indicielle
Un signal d’entrée en échelon unitaire passe de 0 à 1 à partir du temps 0 et continue indéfiniment
à ce niveau. La sortie du système, c’est-à-dire sa fonction de réponse à un échelon unitaire g(t),
est obtenue à partir de l’équation (2) en considérant I(τ) = 1 pour τ ≥ 0 :
( ) ( )
( )
( )
Q t g t
u t
t
=
=
−
∫
∫
τ τ
0
d = u l dl
0
t
en prenant l = t - τ et dl = - dτ
(3)
Fonction de réponse à un signal discrétisé
Un signal d’entrée discret unitaire est l’entrée de valeur unitaire en ∆t de niveau :
( )
I
t
τ =
1
∆
pour 0 ≤ τ ≤ ∆t
(4)
Ainsi la fonction réponse à un signal discret unitaire est :
( )
( ) (
)
[
]
( )
( )
( )
h t
t
g t g t
t
t
u l
u l
t
u l
t
t
=
−
−
=
=
∫
∫
∫
1
1
1
0
∆
∆
∆
∆
∆
∆
dl -
dl
dl
0
t - t
t - t
(5)
Cette équation constitue la base de l’utilisation en hydrologie d’un système linéaire en temps
discret.
Application en hydrologie
Le signal d’entrée qui est la pluie, au pas de temps m∆t, est déterminé en représentation discrète
par :
( )
( )
( )
P
P m t
I t
m
m
t
m t
=
= −
∫
∆
∆
∆
dt
1
pour m = 1, 2, 3, ...
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