Chapitre V
Modélisation de la propagation de la houle
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Chaibai M. S & Hanani A. Z
ENSSMAL
∂𝑢
∂í µí+
∂𝑢
2
∂𝑥
+
∂𝜂𝑝
∂𝑦
+
∂𝑤𝑢
∂𝑧
= 𝑓𝑣 − 𝑔
∂𝜂
∂𝑥
−
1
𝜌 0
∂𝑝 𝑎
∂𝑥
−
𝑔
𝜌 0
∫  
𝜂
𝑧
∂𝜌
∂𝑥
𝑑𝑧 −
1
𝜌 0 ℎ
(
∂𝑠 𝑥𝑥
∂𝑥
+
∂𝑠 𝑥𝑦
∂𝑦
) + 𝐹 𝑢 +
∂
∂𝑧
(𝑣 í µí∂𝑢
∂𝑧
) + 𝑢 𝑠 𝑆
∂𝑣
∂í µí+
∂𝑣
2
∂𝑦
+
∂𝑢𝑣
∂𝑥
+
∂𝑤𝑣
∂𝑧
= −𝑓𝑢 − 𝑔
∂𝜂
∂𝑦
−
1
𝜌 0
∂𝑝 𝑎
∂𝑦
−
𝑔
𝜌 0
∫  
𝜂
𝑧
∂𝜌
∂𝑦
𝑑𝑧 −
1
𝜌 0 ℎ
(
∂𝑠 𝑦𝑥
∂𝑥
+
∂𝑠 𝑦𝑦
∂𝑦
) + 𝐹 𝑣 +
∂
∂𝑧
(𝑣 í µí∂𝑣
∂𝑧
) + 𝑣 𝑠 𝑆
Les termes de contrainte horizontale sont décrits à l'aide d'une relation gradient-contrainte, qui
est simplifiée en :
𝐹 𝑢 =
∂
∂𝑥
(2𝐴
∂𝑢
∂𝑥
) +
∂
∂𝑦
(𝐴 (
∂𝑢
∂𝑦
+
∂𝑣
∂𝑥
))
(10)
𝐹 𝑣 =
∂
∂𝑥
(𝐴 (
∂𝑢
∂𝑦
+
∂𝑣
∂𝑥
)) +
∂
∂𝑦
(2𝐴
∂𝑣
∂𝑦
)
(11)
A est la viscosité horizontale.
Les conditions aux limites de surface et de fond pour u, van et w sont :
A z = η :
∂𝜂
∂í µí+ 𝑢
∂𝜂
∂𝑥
+ 𝑣
∂𝜂
∂𝑦
− 𝑤 = 0, (
∂𝑢
∂𝑧
,
∂𝑣
∂𝑧
) =
1
𝜌 0 𝑣 í µí(𝜏 𝑠𝑥 , 𝜏 𝑠𝑦 )
A z = -d :
(12)
𝑢
∂𝑑
∂𝑥
+ 𝑣
∂𝑑
∂𝑦
+ 𝑤 = 0, (
∂𝑢
∂𝑧
,
∂𝑣
∂𝑧
) =
1
𝜌 0 𝑣 í µí(𝜏 𝑏𝑥 , 𝜏 𝑏𝑦 )
Où
pa: Pression atmosphérique,
d : Profondeur de l'eau.
η : Hauteur de la surface,
f : Paramètre de Coriolis, f = 2Ωsinθ.
h : Profondeur totale de l'eau, h = η + d,
Ω : vitesse angulaire de révolution.
ρw : Densité de l'eau,
t : Temps.
θ : Latitude géographique,
ρ 0 : Densité de référence de l'eau.
x, y, z : Coordonnées cartésiennes,
S xy , S xx , S yy : Composantes du tenseur de rayonnement
S : Amplitude de la décharge causée par des sources ponctuelles
u, v : Les vitesses des courants à la profondeur moyenne sont définies par
(u s , v s ) : Vitesses par laquelle l'eau est déchargée dans l'eau ambiante
u, v, w : Composantes de la vitesse du courant dans les directions x, y, et z
(8)
(9)