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F I C H E 1 – N o m b r e s r é e l s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
1
Attention à ne pas confondre avec la suppression de la partie décimale quand x < 0 ; par
exemple E(−4, 3) = −5.
II Intervalles
• Définition
Pour a b, le segment, [a,b] est défini par :
[a,b] = {x ∈ R ; a x b} .
On utilise souvent la propriété :
c ∈ [a,b] ⇐⇒ ∃t ∈ [0,1] c = ta + (1 − t)b .
On définit de même les autres types d'intervalles :
]a,b[, [a,b[, ]a,b], ]a,+∞[, [a,+∞[, ] − ∞,b[, ] − ∞,b], ] − ∞,+∞[= R .
• Propriété caractéristique
Une partie A de R est un intervalle si, et seulement si :
∀a ∈ A ∀b ∈ A
a < c < b ⇒ c ∈ A .
• Voisinage d'un point
Soit a ∈ R. Une partie V de R est un voisinage de a si elle contient un intervalle
ouvert centré sur a, soit du type ]a − α,a + α[ avec α > 0.
• Densité de Q dans R
Tout intervalle ]a,b[ non vide contient au moins un rationnel et un irrationnel.
On dit que Q et son complémentaire R \ Q sont denses dans R.
III Ordre dans R
• Majoration, minoration
Définitions
Soit A une partie de R. On dit que a est un majorant de A si x a pour tout x de A.
Si, en plus, a ∈ A, alors a est le plus grand élément de A, noté maxA. Si A admet
un majorant, on dit que A est majorée.
On définit de même : minorant, plus petit élément, partie minorée.
Unicité
Si une partie non vide de R admet un plus grand élément, ou un plus petit élément,
il est unique. Mais il peut ne pas exister.
F I C H E 1 – N o m b r e s r é e l s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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Attention à ne pas confondre avec la suppression de la partie décimale quand x < 0 ; par
exemple E(−4, 3) = −5.
II Intervalles
• Définition
Pour a b, le segment, [a,b] est défini par :
[a,b] = {x ∈ R ; a x b} .
On utilise souvent la propriété :
c ∈ [a,b] ⇐⇒ ∃t ∈ [0,1] c = ta + (1 − t)b .
On définit de même les autres types d'intervalles :
]a,b[, [a,b[, ]a,b], ]a,+∞[, [a,+∞[, ] − ∞,b[, ] − ∞,b], ] − ∞,+∞[= R .
• Propriété caractéristique
Une partie A de R est un intervalle si, et seulement si :
∀a ∈ A ∀b ∈ A
a < c < b ⇒ c ∈ A .
• Voisinage d'un point
Soit a ∈ R. Une partie V de R est un voisinage de a si elle contient un intervalle
ouvert centré sur a, soit du type ]a − α,a + α[ avec α > 0.
• Densité de Q dans R
Tout intervalle ]a,b[ non vide contient au moins un rationnel et un irrationnel.
On dit que Q et son complémentaire R \ Q sont denses dans R.
III Ordre dans R
• Majoration, minoration
Définitions
Soit A une partie de R. On dit que a est un majorant de A si x a pour tout x de A.
Si, en plus, a ∈ A, alors a est le plus grand élément de A, noté maxA. Si A admet
un majorant, on dit que A est majorée.
On définit de même : minorant, plus petit élément, partie minorée.
Unicité
Si une partie non vide de R admet un plus grand élément, ou un plus petit élément,
il est unique. Mais il peut ne pas exister.