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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Nombres réels
I
Premières propriétés
• Corps ordonné
On dit que l'ensemble R des nombres réels est :
– un corps pour dire qu'il est muni de deux opérations + et ×, avec toutes les propriétés dont vous avez l'habitude ;
– un corps ordonné pour dire que la relation d'ordre est compatible avec + et ×,
c'est-à-dire :
∀a ∈ R ∀b ∈ R ∀c ∈ R
a b ⇒ a + c b + c ;
∀a ∈ R ∀b ∈ R ∀c 0
a b ⇒ ac bc .
• Règles de calcul (x ∈ R , y ∈ R , n ∈ N)
(x + y)
n
=
n
k=0
n
k
x
k y
n−k
où
n
k
=
n!
k!(n − k)!
x
n
− y
n
= (x − y)
n−1
k=0
x
n−k−1 y
k .
• Valeur absolue
La valeur absolue d'un réel a, notée |a|, est définie par :
|a| = a si a 0
;
|a| = −a si a 0 .
• Propriétés
∀a ∈ R ∀b ∈ R
|a| 0 ; |a| = 0 ⇐⇒ a = 0 ; |ab| = |a| |b| ;
|a + b| |a| + |b| ;
|a| − |b|
|a − b| .
• Propriété d'Archimède
Soit a ∈ R et b > 0. Alors il existe k ∈ N tel que bk > a.
• Partie entière
Étant donné un nombre réel x, il existe un plus grand entier relatif, noté E(x) ou
[x], tel que E(x) x. On l'appelle la partie entière de x.
On a donc, par définition : E(x) x < E(x) + 1 .
FICHE 1