Fg_e4'18,……
……_
_,…,_
…
_
__
La fonction :p doit—être nulle à l’extérieur du
'V
-
_
'
'
Î
puits et aussi pour les valeurs x = 0 et x = 1. S’il n’en
était pas ainsi, la fonction présenterait des discontiV=_œ
nuités aux frontières.
_
_
£
Pourx=0,rÿ=Asin0=0
f——_
‘
Pourx=l,uÿ=AsinM-I=O_
h
=
V=O
“___—“T
d’où
2n——— ‘2mE- l = mt avec n entier.
X=0
.x=1
x
11
Le corpuscule se déplace entre les points d’abscisses
E :
‘
x :O et x = l._
_
,
L’équation de SCHRÔDINGER, indépendante du temps,
se réduit à :
Cette condition limite impose certaines valeurs
2
2
discrètes à l’énergie. L’énergie du corpuscule est donc
_
Ë_‘l’
+
_8_”_7_" Ev,b :
_
quantiée et les valeurs permises sont les valeurs
dx2
h2 '
'
propres En.
_
À chaque valeur propre E,1 correspond une foncVérions que la solution de cette équation est de la
tion propre $,, qui peut s’écrire :
forme :
1ÿ(x) = Asin2ÆC = Asin2————V2mEx.
'
-
À
_
h
[
D1‘érent1ons
:
La Valeur n =
0 correspondrait à une fonction
_
'dlÿ
27: W
d’onde
nulle en
tout point, ce qui signierait que la
=
COS
_h_
particule n’ex1ste pas.
-
'
-
La plus petite valeur poss1ble pour n
est donc
,
d2 l//
—A
8 H2 mE
sin
271
_
l’unité. L’énergie totale minimale
est alors
:
'
Î1x_2
_
h2
_Î
ï
’
h2
'
=
—2.
_
—
__
8ml
_
-
on voit que…:
_
'
'
Cette énergie est l’énergie résiduelle ou énergie de
ü+8752me : 0_
-
point zéro.
dx2
—
h2
-
En mécanique classique, on pourrait envisager
_
.
une partiCule d’énergie nulle qui serait au repos. Il
La fOnction d’onde totale est
'n’en est plus de même en mécanique quantique. Si la
particule avait une énergie nulle, son impulsion serait
-
,
_
T = A Sin 2_7£'___ e——iœt avec w _: ÊÏË
et
également.
Le
principe d’ineertitude
_
h
_
'h -
entramera1t une incertitude sur x innie (Ax — ce), ce
-
.
qui n’est pas, puisque la particule se trouve sur un
'
,
C’est l’équation— d’une onde plane stationnaire
segment de longueur [. L’énergie résiduelle
est donc
’
monochromatique.
'
une conséquenée du principe d’HEISENBERG (g. 4.19).
_
|