If“e équation très générale admet des solutions
a)
Equation des ondes et équation de SCI—IRÔDINGER
,
dans lesquelles les variables de temps et
.
.
.
'
se séparent.
Sœt une onde statzonnazre représentée par la fonc—
3.— solutions sont de la forme :
t10n
’
{) ___ il1(x, y, z) e“’°°‘.
‘I’ = A
=
A
cos—2—Ï—xcos
mt. (3)
Ces fenctions représentent des ondes stationnaires.
,
,
_
Substituons une solution stationnaire dans l’équa—
Nous sup poserons dabord
que
n
est fonction
tion (1) :
-
que de x et de t; nous generahserons ensu1te le résultat
à une fonction de x, y, z, t.
_
__IÎZ_
+
+
ôZ_‘ /’ :\
——iœr
V
_iœ,
Le facteur amplitude A cos [(2nx)/À] traduit la
87r2 m ôx2
ôy2
622
e
-
+
"’/e
périodicité dans l’espace et le facteur cos [(2nt)/ T], la
.
périodicité dans le temps.
-
___
ï œl// e—iœt
Pour une corde vibrante, par exemple, l’ampli27t
tude A cos [(2nx)/À] sera la distance maximale d’un
point de cette corde à l’axe des x.
'
or
ou
=
27: v :
2LE
‘
L’équation (3) montre que, en un point de la
11
corde, cette distance varie’avec le temps mais les posi—
tions des maximums et des minimums ne varient pas au
.
donc 1
cours du temps.
h2
[52
l/’
62 W
ÔZRÜ
.
—
Diñérencions la fonction il”.
——2__2+——2+—2:l+Ï/Ù=Eiÿ. 87t m ôx ôy 62
62”
27“CA
.
27tx
——
=
——sm————cos mt
(4)
ôx
À
11
Cette équation s’écrit encore :
-
-'
2
2
.
'
,
6 SP
471 A
27tx
_
,,
-
-
ï
=
——Zcos——cosœt.
-
(5)
_
A$+—2(E—V)III = 0
(2)
_
_
_
11
Entre (3) et (5) on éhmme A cos [(2 nx)/À] et on déduit :
2
2
.
'
où A est l’opérateur laplacien :
%
=
—
%
'I’.
_
(6)
52
52
52
,
—2
+ —5
+ —2— .
__
En ne considérant que la fonction d’espace
,
_
ôx
ôy
62
1,11 = A cos [(2nx)/À] indépendante du temps, l’équa.
.
.
,
,
tion (6) devient :
'
IP est la partie dela fonction d’onde qui ne depend
_
-
que des coordonnées d’espace.
—
_‘
d_2È
_
_
(7)
L’équation (2)
l’équation de SCHRÔDINGER,
dx2
_
,1‘2
'
'
‘
indépendante du temps pour une particule.
L’équation de SCHRÔDINGER se justie par le fait
'
L’équation (7) n’est autre que l’équation
d’onde
que tOut ce qu’on peut en déduire est vérié par
qui régit le mouvement d’une corde vibrante. Elle
'
l’expérience.
.
s’applique d’ailleurs aux ondes en général, qu’elles
En fait, nom allons voir que le choix de cette
soient électromagnétiques ou associées.
,
éQUation n’est pas entièrement arbitraire. À l’aide de
Si maintenant l/' est la fonction del’onde, a’SSOCIÔŸ‘
calculs simples, il est aisé de la retrouver. Ce qui suit
à un corpuscule; la longueur d’onde  eSt egale_ a
'
_
_
ne constitue pas‘ une démonstratioñmais n’est que l’étah/mv et,
_
.
.
blissement de l’équation par une voie analogique qui
'
dz W
4
1112 02
557th _1
2)
nous
montrera que l’équation
de SCI—IRÔDINGER ne 110118
Îxî
=
-—
—Î-l
=
.— _hz_
il!etait pas totalement inconnue.
_
_
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Equation des ondes et équation de SCI—IRÔDINGER
,
dans lesquelles les variables de temps et
.
.
.
'
se séparent.
Sœt une onde statzonnazre représentée par la fonc—
3.— solutions sont de la forme :
t10n
’
{) ___ il1(x, y, z) e“’°°‘.
‘I’ = A
=
A
cos—2—Ï—xcos
mt. (3)
Ces fenctions représentent des ondes stationnaires.
,
,
_
Substituons une solution stationnaire dans l’équa—
Nous sup poserons dabord
que
n
est fonction
tion (1) :
-
que de x et de t; nous generahserons ensu1te le résultat
à une fonction de x, y, z, t.
_
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+
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V
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Le facteur amplitude A cos [(2nx)/À] traduit la
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-
+
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périodicité dans l’espace et le facteur cos [(2nt)/ T], la
.
périodicité dans le temps.
-
___
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Pour une corde vibrante, par exemple, l’ampli27t
tude A cos [(2nx)/À] sera la distance maximale d’un
point de cette corde à l’axe des x.
'
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ou
=
27: v :
2LE
‘
L’équation (3) montre que, en un point de la
11
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.
donc 1
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.
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.
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Cette équation s’écrit encore :
-
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-
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-
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_
_
_
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Entre (3) et (5) on éhmme A cos [(2 nx)/À] et on déduit :
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.
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_
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,
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__
En ne considérant que la fonction d’espace
,
_
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1,11 = A cos [(2nx)/À] indépendante du temps, l’équa.
.
.
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IP est la partie dela fonction d’onde qui ne depend
_
-
que des coordonnées d’espace.
—
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_
_
(7)
L’équation (2)
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_
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'
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indépendante du temps pour une particule.
L’équation de SCHRÔDINGER se justie par le fait
'
L’équation (7) n’est autre que l’équation
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que tOut ce qu’on peut en déduire est vérié par
qui régit le mouvement d’une corde vibrante. Elle
'
l’expérience.
.
s’applique d’ailleurs aux ondes en général, qu’elles
En fait, nom allons voir que le choix de cette
soient électromagnétiques ou associées.
,
éQUation n’est pas entièrement arbitraire. À l’aide de
Si maintenant l/' est la fonction del’onde, a’SSOCIÔŸ‘
calculs simples, il est aisé de la retrouver. Ce qui suit
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.
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nous
montrera que l’équation
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_
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