4. Mesure en hydrologie
173
Exercice 4 .2 : Lames d'eau sur de grandes surface
Les moyennes, sur Ie territoire francais, des valeurs figurant sur les cartes des
figures 4.5 (pluies moyennes annuelles) et 4.3 (pluies journalieres decennales)
sont resp ectivem ent d 'environ 800 nun et de 70 nun. P out-on en deduire la
lam e moyenne des pr ecipitations et la lam e d 'eau journaliere deccnnale sur le
territoire francais ?
Reporise
La reponse est oui dans le premi er cas (la lam e d 'eau moyenn e spatiale est egale
it la moyenn e des valeurs ponctu elles) et non dans Ie second. Les P J IO sont
des plui es rares qui ne se produisen t pa s concomitamme nt sur l'ensembl e du
te rr it oire; consid erer la moyenn e spatiale comme et ant la moyenn e des valeurs
ponctuelles qui correspondent ,t des episodes differents est grossierement faux .
Illu strons ceci dans le cas de la moyenn e de deux valeurs ponctu clles.
Soit X et Y deux variables alea toi res (cumuls journaliers ou annuels des
plui es). Qu elle qu e soit la structure de dep endan ce ent re X et Y , la rela tion
E[(X + Y )/2 ] = (E[X] + E[Y])/ 2 est toujours verifiee. L'esp erance (la moyenne
et ant un est imateur de l'esp erance) de la moyenne des deux variables est la
moyenn e des espera nces : la moyenne spat iale d 'une valeur moyenn e est bien
ega le it la moyenn e de ses valeu rs pon ctuelles.
II n 'en va pa s de mem e pour la variance (ou l'ecart type) ou t ou te au tre
caracteristique de la distribution de (X +Y )/2 comme Ie quantil e decennal par
exe mple. En effet, J Var[( X + Y )/2J = J Var[X ] + Var [Y] + 2Cov[X , Y 1!2.
L'ecart typ e ou tout au tre quantil e de la moyenne n 'est egal a la moyenne des
eca rts ty pes ou des quantiles que dans le cas tres particulier ou X et Y sont de
meme loi et totaleme nt dep endants: Cov[X , YJ = VarIX ] = Var[Y]. Dan s tou s
les aut res cas, effect uer des moyennes de quantiles n'a ab solument aucun sens .
Les lam es d 'eau moyennes spatiales doivent don e etre calcul ees pas de te mps par
pas de te mps (d . section suivante) et les caract eris tiques statist iques, notam -
mont Ie qu an til e decennal, cal cul ees sur cette serie de lames d 'eau moyenn es,
Cer tain s a ute urs ont effect ue ce t ravail sur des jeux de donnees exist a nt et
propose des formules de coefficients d 'abat tem ent spatial des plui es a (ra pport
ent re le quantil e de period e de retour T de la lam e d 'eau moyenne spatia le sur
la sur face 5 (PS,T) et le qu antile ponctu el (F r) . Ce coefficient dep end du pas
de t emps !J.t consid ere et semble et re relativem ent ind ep cndan t de T pour T
sit ue entre quelqu es semaines et 10 an s. Les formules suivantes ( 5 en km
2
et
!J.t en heures) ont par exem ple ete calees sur des donnees pluviometriques de
Marseille et d 'Ile-de-Fr anc e pour 0.1 h ::; !J.t ::; 24 h [1591 :
a = 5 -0. 056+0.016 111 t1t pour 5 < 30 km 2
a = 5 - 0. 06 4+0.01 .1111 t1t pour 5 > 30 km 2
(4.1)
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Exercice 4 .2 : Lames d'eau sur de grandes surface
Les moyennes, sur Ie territoire francais, des valeurs figurant sur les cartes des
figures 4.5 (pluies moyennes annuelles) et 4.3 (pluies journalieres decennales)
sont resp ectivem ent d 'environ 800 nun et de 70 nun. P out-on en deduire la
lam e moyenne des pr ecipitations et la lam e d 'eau journaliere deccnnale sur le
territoire francais ?
Reporise
La reponse est oui dans le premi er cas (la lam e d 'eau moyenn e spatiale est egale
it la moyenn e des valeurs ponctu elles) et non dans Ie second. Les P J IO sont
des plui es rares qui ne se produisen t pa s concomitamme nt sur l'ensembl e du
te rr it oire; consid erer la moyenn e spatiale comme et ant la moyenn e des valeurs
ponctuelles qui correspondent ,t des episodes differents est grossierement faux .
Illu strons ceci dans le cas de la moyenn e de deux valeurs ponctu clles.
Soit X et Y deux variables alea toi res (cumuls journaliers ou annuels des
plui es). Qu elle qu e soit la structure de dep endan ce ent re X et Y , la rela tion
E[(X + Y )/2 ] = (E[X] + E[Y])/ 2 est toujours verifiee. L'esp erance (la moyenne
et ant un est imateur de l'esp erance) de la moyenne des deux variables est la
moyenn e des espera nces : la moyenne spat iale d 'une valeur moyenn e est bien
ega le it la moyenn e de ses valeu rs pon ctuelles.
II n 'en va pa s de mem e pour la variance (ou l'ecart type) ou t ou te au tre
caracteristique de la distribution de (X +Y )/2 comme Ie quantil e decennal par
exe mple. En effet, J Var[( X + Y )/2J = J Var[X ] + Var [Y] + 2Cov[X , Y 1!2.
L'ecart typ e ou tout au tre quantil e de la moyenne n 'est egal a la moyenne des
eca rts ty pes ou des quantiles que dans le cas tres particulier ou X et Y sont de
meme loi et totaleme nt dep endants: Cov[X , YJ = VarIX ] = Var[Y]. Dan s tou s
les aut res cas, effect uer des moyennes de quantiles n'a ab solument aucun sens .
Les lam es d 'eau moyennes spatiales doivent don e etre calcul ees pas de te mps par
pas de te mps (d . section suivante) et les caract eris tiques statist iques, notam -
mont Ie qu an til e decennal, cal cul ees sur cette serie de lames d 'eau moyenn es,
Cer tain s a ute urs ont effect ue ce t ravail sur des jeux de donnees exist a nt et
propose des formules de coefficients d 'abat tem ent spatial des plui es a (ra pport
ent re le quantil e de period e de retour T de la lam e d 'eau moyenne spatia le sur
la sur face 5 (PS,T) et le qu antile ponctu el (F r) . Ce coefficient dep end du pas
de t emps !J.t consid ere et semble et re relativem ent ind ep cndan t de T pour T
sit ue entre quelqu es semaines et 10 an s. Les formules suivantes ( 5 en km
2
et
!J.t en heures) ont par exem ple ete calees sur des donnees pluviometriques de
Marseille et d 'Ile-de-Fr anc e pour 0.1 h ::; !J.t ::; 24 h [1591 :
a = 5 -0. 056+0.016 111 t1t pour 5 < 30 km 2
a = 5 - 0. 06 4+0.01 .1111 t1t pour 5 > 30 km 2
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