XI1
Contents
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 . Solution of the Navier-Stokes Equations
157
7.1 Special Features of the Navier-Stokes Equations . . . . . . . . . . . . 157
7.1.1 Discretization of Convective and Viscous Terms . . . . . . 157
7.1.2 Discretization of Pressure Terms and Body Forces . . . . 158
7.1.3 Conservation Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.2 Choice of Variable Arrangement on the Grid . . . . . . . . . . . . . . . 164
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Colocated Arrangement
165
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Staggered Arrangements
166
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Calculation of the Pressure
167
7.3.1 The Pressure Equation and its Solution . . . . . . . . . . . . . 167
7.3.2 A Simple Explicit Time Advance Scheme . . . . . . . . . . . . 168
7.3.3 A Simple Implicit Time Advance Method . . . . . . . . . . . . 170
. . . . . . . . . . . . . . .
7.3.4 Implicit Pressure-Correction Methods
172
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Other Methods
178
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Fractional Step Methods
178
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 Streamfunction-Vorticity Methods
181
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.3 Artificial Compressibility Methods
183
7.5 Solution Methods for the Navier-Stokes Equations . . . . . . . . . . 188
7.5.1 Implicit Scheme Using Pressure-Correction and a Stag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
gered Grid
188
7.5.2 Treatment of Pressure for Colocated Variables . . . . . . . 196
7.5.3 SIMPLE Algorithm for a Colocated Variable Arrangement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Note on Pressure and Incompressibility
202
7.7 Boundary Conditions for the Navier-Stokes Equations . . . . . . . 204
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 Examples
206
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 . Complex Geometries
217
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1 The Choice of Grid
217
8.1.1 Stepwise Approximation Using Regular Grids . . . . . . . . 217
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Overlapping Grids
218
. . . . . . . . . . . . .
8.1.3 Boundary-Fitted Non-Orthogonal Grids
219
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Grid Generation
219
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 The Choice of Velocity Components
223
. . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Grid-Oriented Velocity Components
224
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2 Cartesian Velocity Components
224
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 The Choice of Variable Arrangement
225
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Staggered Arrangements
225
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2 Colocated Arrangement
226
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Finite Difference Methods
226
. . . . . . .
8.5.1 Methods Based on Coordinate Transformation
226
. . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.2 Method Based on Shape Functions
229
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 Finite Volume Methods
230
. . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.1 Approximation of Convective Fluxes
231
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.2 Approximation of Diffusive Fluxes
232