X
Contents
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.6 Solution Method
30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.7 Convergence Criteria
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. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Properties of Numerical Solution Methods
31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Consistency
31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Stability
32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Convergence
32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Conservation
33
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.5 Boundedness
33
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.6 Realizability
33
2.5.7 Accuracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Discretization Approaches
35
2.6.1 Finite Difference Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Finite Volume Method
36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Finite Element Method
36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Finite Difference Methods
39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Introduction
39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Basic Concept
39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Approximation of the First Derivative
42
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Taylor Series Expansion
42
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Polynomial Fitting
44
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Compact Schemes
45
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Non-Uniform Grids
47
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Approximation of the Second Derivative
49
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Approximation of Mixed Derivatives
52
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Approximation of Other Terms
53
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Implementation of Boundary Conditions
53
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 The Algebraic Equation System
55
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Discretization Errors
58
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 An Introduction to Spectral Methods
60
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10.1 Basic Concept
60
. . . . . . . . . . . . . . .
3.10.2 Another View of Discretization Error
62
3.11 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 . Finite Volume Methods
71
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Introduction
71
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Approximation of Surface Integrals
72
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Approximation of Volume Integrals
75
. . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Interpolation and Differentiation Practices
76
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Upwind Interpolation (UDS)
76
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Linear Interpolation (CDS)
77
. . . . . . . . . . .
4.4.3 Quadratic Upwind Interpolation (QUICK)
78
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4 Higher-Order Schemes
79
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.5 Other Schemes
81
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Implementation of Boundary Conditions
81