Table des mati` eres
1M o d ` eles micro-macro pour les solides ...................... 1
1.1 El´ ements de m´ ecanique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 De l’´ echelle atomique ` al ’ ´ energie ´ elastique................... 5
1.3 Une m´ ethode coupl´ ee micro-macro......................... 12
1.3.1 Le mod` ele ........................................ 13
1.3.2 La discr´ etisation .................................. 15
1.3.3 Utilisation de E(ϕ) ................................ 19
1.4 Introduction `
a la topologie faible .......................... 21
1.5 V ers le calcul des variations............................... 24
1.5.1 Quelques probl` emes mod` eles........................ 26
1.5.2 T echniques pour les microstructures ................. 32
1.6 Bibliographie ........................................... 37
2 Techniques d’homog´ en´ eisation ............................. 39
2.1 Le cas monodimensionnel................................. 40
2.2 Deux cas bidimensionnels................................. 45
2.2.1 Les mat´ eriaux lamell´ es............................. 45
2.2.2 Le r´ esultat g´ en´ eral................................. 48
2.2.3 Un vrai cas 2D.................................... 50
2.3 Des cas plus compliqu´ es : la convergence ` ad e u x´ echelles...... 52
2.3.1 L’Ansatz et le d´ eveloppement ` ad e u x´ echelles ......... 53
2.3.2 L’interpr´ etation ´ energ´ etique ........................ 59
2.3.3 Retour sur le cas monodimensionnel ................. 62
2.3.4 Retour sur le cadre g´ en´ eral ......................... 67
2.4 A lire en 2 ` eme lecture : Vers des m´ ethodes multi´ echelles
avanc´ ees................................................ 70
2.5 Questions de couche limite................................ 73
2.5.1 Deux cas simples .................................. 74
2.5.2 Couche limite rugueuse ............................ 76
2.6 Quand ¸
ca se passe mal .................................... 83
2.7 Bibliographie ........................................... 87