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CHAPITRE 4 : PROBABILIT ´
ES DISCR `
ETES. D ´
ENOMBREMENTS
n 0 1 2 3 4 5 6
p
0
1
1
1 1
2
1 2 1
3
1 3 3 1
4
1 4 6 4 1
5
1 5 10 10 5 1
6
1 6 15 20 15 6 1
A partir de la r´ ecurrence pr´ ec´ edente, on obtient la valeur de
p
n
sous la
forme bien connue :
(4.4.2)
p
n
=
p!
n! (p − n)!
(0 ≤ n ≤ p)
et
p
n
= 0 si n n’appartient pas `
a l’intervalle [ 0, p ].
Proposition 4.4.1. — Soit 0 ≤ n ≤ p ; le nombre de parties de cardinal
n d’un ensemble de cardinal p est ´ egal `
a
p
n
.
D´ emonstration. — Soit B de cardinal p. Pour obtenir une suite (n, p)injective (c 1 , c 2 , . . . , c n ), il suffit de se donner la partie {c 1 , c 2 , . . . , c n } de B,
puis une permutation de ces n ´ el´ ements. Par cons´ equent, avec b n,p d´ esignant
le nombre de parties de B de cardinal n, on obtient I(n, p) = b n,p I(n, n), soit
b n,p = (p!/(p − n)!)/n! =
p
n
.
Exemple. — Combien y a-t-il de tirages de cinq cartes d’un jeu de
cinquante-deux ? Si B est l’ensemble de toutes les cartes, un tirage de cinq
cartes n’est autre qu’une partie de B, de cardinal 5. Par cons´ equent, le
nombre cherch´ e est ´ egal ` a
52
5
=
52 × 51 × 50 × 49 × 48
5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 2.395.120.
Exemple. — Combien y a-t-il de mains de cinq cartes d’un jeu de bridge
contenant exactement deux as, deux rois et une dame ? Soient A (resp. B)
l’ensemble de toutes les paires (non ordonn´ ees) de deux as (resp. deux rois)
et C l’ensemble des dames. Tout tirage de cinq cartes avec la distribution
ci-dessus est une suite (a, b, c), o` u a ∈ A, b ∈ B et c ∈ C. D’apr` es la formule
du produit, le nombre de tirages demand´ e est ´ egal ` a t = |A| × |B| × |C|.
Comme |A| = |B| =
4
2
= 6 et |C| = 4, on trouve t = 6 × 6 × 4 = 144.
Supposons donn´ e un ordre total b 1 < b 2 < · · · < b p sur les p ´ el´ ements de
l’ensemble fini B. Lorsqu’on prend une partie A de B, de cardinal n (n ≤ p),
on peut lui faire correspondre la suite croissante (c 1 < c 2 < · · · < c n ) de
ses n ´ el´ ements, et ceci de fa¸ con bijective. On peut donc ´ enoncer le corollaire
suivant.
Corollaire. — Le nombre de suites strictement croissantes (c 1 < c 2 <
· · · < c n ), de longueur n, o` u les termes sont extraits d’un ensemble de
cardinal p, est ´ egal `
a
p
n
.
CHAPITRE 4 : PROBABILIT ´
ES DISCR `
ETES. D ´
ENOMBREMENTS
n 0 1 2 3 4 5 6
p
0
1
1
1 1
2
1 2 1
3
1 3 3 1
4
1 4 6 4 1
5
1 5 10 10 5 1
6
1 6 15 20 15 6 1
A partir de la r´ ecurrence pr´ ec´ edente, on obtient la valeur de
p
n
sous la
forme bien connue :
(4.4.2)
p
n
=
p!
n! (p − n)!
(0 ≤ n ≤ p)
et
p
n
= 0 si n n’appartient pas `
a l’intervalle [ 0, p ].
Proposition 4.4.1. — Soit 0 ≤ n ≤ p ; le nombre de parties de cardinal
n d’un ensemble de cardinal p est ´ egal `
a
p
n
.
D´ emonstration. — Soit B de cardinal p. Pour obtenir une suite (n, p)injective (c 1 , c 2 , . . . , c n ), il suffit de se donner la partie {c 1 , c 2 , . . . , c n } de B,
puis une permutation de ces n ´ el´ ements. Par cons´ equent, avec b n,p d´ esignant
le nombre de parties de B de cardinal n, on obtient I(n, p) = b n,p I(n, n), soit
b n,p = (p!/(p − n)!)/n! =
p
n
.
Exemple. — Combien y a-t-il de tirages de cinq cartes d’un jeu de
cinquante-deux ? Si B est l’ensemble de toutes les cartes, un tirage de cinq
cartes n’est autre qu’une partie de B, de cardinal 5. Par cons´ equent, le
nombre cherch´ e est ´ egal ` a
52
5
=
52 × 51 × 50 × 49 × 48
5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 2.395.120.
Exemple. — Combien y a-t-il de mains de cinq cartes d’un jeu de bridge
contenant exactement deux as, deux rois et une dame ? Soient A (resp. B)
l’ensemble de toutes les paires (non ordonn´ ees) de deux as (resp. deux rois)
et C l’ensemble des dames. Tout tirage de cinq cartes avec la distribution
ci-dessus est une suite (a, b, c), o` u a ∈ A, b ∈ B et c ∈ C. D’apr` es la formule
du produit, le nombre de tirages demand´ e est ´ egal ` a t = |A| × |B| × |C|.
Comme |A| = |B| =
4
2
= 6 et |C| = 4, on trouve t = 6 × 6 × 4 = 144.
Supposons donn´ e un ordre total b 1 < b 2 < · · · < b p sur les p ´ el´ ements de
l’ensemble fini B. Lorsqu’on prend une partie A de B, de cardinal n (n ≤ p),
on peut lui faire correspondre la suite croissante (c 1 < c 2 < · · · < c n ) de
ses n ´ el´ ements, et ceci de fa¸ con bijective. On peut donc ´ enoncer le corollaire
suivant.
Corollaire. — Le nombre de suites strictement croissantes (c 1 < c 2 <
· · · < c n ), de longueur n, o` u les termes sont extraits d’un ensemble de
cardinal p, est ´ egal `
a
p
n
.