4. FORMULES CLASSIQUES DE D ´
ENOMBREMENT
31
Les anniversaires. — Parmi n personnes en pr´ esence, quelle est la probabilit´ e pour qu’au moins deux d’entre elles aient leur anniversaire le mˆ eme
jour ? Pour r´ epondre `
a ce probl` eme, on convient de ne pas prendre en charge
les personnes n´ ees un 29 f´ evrier. On convient ensuite que quel que soit le jour
impos´ e, ` a l’exclusion du 29 f´ evrier, la probabilit´ e pour qu’une personne prise
au hasard ait son anniversaire ce jour-l` a est ´ egale ` a 1/365. Pour formaliser le
probl` eme, on prend pour Ω l’ensemble des suites (x 1 , . . . , x n ) o` u chaque x i
varie dans l’ensemble des 365 jours de l’ann´ ee consid´ er´ es et l’´ equir´ epartition
sur Ω.
La probabilit´ e cherch´ ee est ´ egale ` a :
P n = 1 −
I(n, 365)
365 n = 1 −
365 × 364 × · · · × (365 − n + 1)
365 n
Quelques valeurs de P n sont consign´ ees dans le tableau suivant :
n
2
10
15
22
23
32
35
41
55
P n 0, 003 0, 12 0, 25 0, 48 0, 51 0, 75 0, 81 0, 90 0, 99
Par exemple, dans une classe de vingt-trois ´ el` eves, un professeur peut parier,
avec plus de cinquante chances de succ` es sur cent, qu’au moins deux ´ el` eves
ont leur anniversaire le mˆ eme jour (cf. Fig. 1).
0.5
0.81
22
10
2
0
1 5
3 2
4 1
5 5
23
35
1.0
Fig. 1
4.4. Parties d’un ensemble. — Les coefficients binomiaux
p
n
(n ≥ 0, p ≥
0) sont d´ efinis par la relation de r´ ecurrence :
(4.4.1)
p
n
=
p − 1
n − 1
+
p − 1
n
(n, p ≥ 1),
avec les conditions initiales :
p
0
= 1 pour tout p ≥ 0 et
0
n
= 0 pour tout
n ≥ 1. Leur repr´ esentation dans un tableau avec p comme indice de ligne et
n comme indice de colonne n’est autre que le triangle de Pascal :
ENOMBREMENT
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Les anniversaires. — Parmi n personnes en pr´ esence, quelle est la probabilit´ e pour qu’au moins deux d’entre elles aient leur anniversaire le mˆ eme
jour ? Pour r´ epondre `
a ce probl` eme, on convient de ne pas prendre en charge
les personnes n´ ees un 29 f´ evrier. On convient ensuite que quel que soit le jour
impos´ e, ` a l’exclusion du 29 f´ evrier, la probabilit´ e pour qu’une personne prise
au hasard ait son anniversaire ce jour-l` a est ´ egale ` a 1/365. Pour formaliser le
probl` eme, on prend pour Ω l’ensemble des suites (x 1 , . . . , x n ) o` u chaque x i
varie dans l’ensemble des 365 jours de l’ann´ ee consid´ er´ es et l’´ equir´ epartition
sur Ω.
La probabilit´ e cherch´ ee est ´ egale ` a :
P n = 1 −
I(n, 365)
365 n = 1 −
365 × 364 × · · · × (365 − n + 1)
365 n
Quelques valeurs de P n sont consign´ ees dans le tableau suivant :
n
2
10
15
22
23
32
35
41
55
P n 0, 003 0, 12 0, 25 0, 48 0, 51 0, 75 0, 81 0, 90 0, 99
Par exemple, dans une classe de vingt-trois ´ el` eves, un professeur peut parier,
avec plus de cinquante chances de succ` es sur cent, qu’au moins deux ´ el` eves
ont leur anniversaire le mˆ eme jour (cf. Fig. 1).
0.5
0.81
22
10
2
0
1 5
3 2
4 1
5 5
23
35
1.0
Fig. 1
4.4. Parties d’un ensemble. — Les coefficients binomiaux
p
n
(n ≥ 0, p ≥
0) sont d´ efinis par la relation de r´ ecurrence :
(4.4.1)
p
n
=
p − 1
n − 1
+
p − 1
n
(n, p ≥ 1),
avec les conditions initiales :
p
0
= 1 pour tout p ≥ 0 et
0
n
= 0 pour tout
n ≥ 1. Leur repr´ esentation dans un tableau avec p comme indice de ligne et
n comme indice de colonne n’est autre que le triangle de Pascal :