1.13 Un calcul analogue donne :
= e'" x e'“'", soit :
cos {a -b) + \ sin {a - b) = (cos a + i sin î / )(c o s h - i sin b)
= cos a cos b + i (-cos a sin b + sin a cos b) - i^ sin a sin b
On en déduit :
cos (a -b) = cos a cos b + sin a sin b
sin (a -b ) = sin a cos b - cos a sin b
1.14 En utilisant les formules démontrées précédemment, on a :
cos (a + Tl) = cos a cos 7i - sin a sin 7i
Comme cos 7i = -1 et sin 7i = 0, on obtient :
cos (a + K) = - cos a
De même : sin (a + 7i) = cos a sin 7i + sin a cos 7i= - sin a
Un raisonnement analogue conduit aux relations suivantes ;
cos (7 1 - a) = cos 71 cos a + sin 7 i sin ¿/ = - cos a
sin (7 1 - a) = sin 71 cos a - cos 7t sin a = sin a
1.15
a) (e^O’ = (cos xY + i (sin x )’. Soit comme (e'0’= ie“ on a, ie'-' = i cos x - sin x ;
i(cos X + i sin x) = (cos x)’ + i (sin x)’.
On a donc en développant :
i cos X - sin X = (cos x)’ + i (sin x)’
b) En identifiant les parties réelles et imaginaires, on obtient :
(cos x)’ = - sin X
(sin x)’ = cos X
1.16 Si on calcule la dérivée de la fonction gaussienne e"^', on obtient :
(e~^')’ = 2x X (e~^'), fonction qui s’annule en x = 0. La tangente de la courbe en 0 est donc une
droite horizontale.
1.17 ['"sin
Jü
/
V
nwc
L
dx = -
L
riKx
— cos---nn
L
=---- (cos 2nK - cos 0) = 0
rm
1.18 /(x)’ = -e “"^ - ¿/(2 -x )e “"^= {ax - 2a - l)e""^. Cette dérivée s’annule en x =
2a +1 Elle
est décroissante lorsque x est inférieur à cette valeur et croissante au-delà. Son graphe approximatif est :
T J
O
c
D
û
«JD
t H
O
CM
X I
ai
' v_
>Q.
O
U
463