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D’Euclide à Fibonacci,
histoire du nombre d’or cp
■ a
O
c
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LD
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rsl
La première apparition de ce qui allait plus tard être appelé
le «nombre d'or» se trouve définie implicitement dans le
Livre XIII des Éléments d'Euclide, lors de l'étude du pentagone
régulier. Le problème posé est le suivant comment partager
un segment en deux parties, selon « l'extrême et moyenne raison » ? En d'autres termes, soit un segment AC et F entre ces
points, comment placer F pour que l'on ait : AC/AF = AF/FC. La
solution relève du génie d'Euclide.
Considérons le pentagone inscrit dans un cercle. Les triangles
ABC et BFC sont isocèles et semblables d'où l'on tire : AC/AF = AF/FC. Nous pouvons calculer
ce rapport qui nous donne la valeur du nombre d'or (p. En considérant des segments orientés,
nous obtenons l'équation AC^ - AC-AF - AF^ = o. En divisant l'expression par AF^ et en posant
AC/AF = X , nous déduisons l'équation x^ - x - i = o dont les racines sont ; x = (iiVs)/^ . Dans
notre cas de figure nous obtenons AC/AF = 1,61810339887..., généralement tronqué à 1,618,
valeur usuelle de (p. L'autre racine est (p' = 0,618. (Il est aisé de vérifier que (p-(p' = 1). Il existe à
ce jour des milliers de traités relatifs au nombre d'or et à ses propriétés esthétiques. Gardons
la tête froide, en dernier recours, il appartient à chacun de s'en faire une idée...
L’introduction des chiffres indo-arabes
Tout en utilisant les relations de proportion qui le définissent, Euclide n'a pas calculé le
nombre (p. Un tel calcul numérique n'est possible qu'avec l'utilisation des nombres réels et l'utilisation des chiffres indo-arabes dans les écrits occidentaux ne date que des environs de l'an
1000. On en trouve la première apparition dans le Codex Vigilianus, apparu en 976 au monastère de Saint-Martin d'Albeda, appartenant alors au royaume de Pampelune. On attribue cette
utilisation à l'influence de Gerbert d'Aurillac, (vers 950-1003) qui devint pape sous le nom de
Sylvestre II, de 999 à 1003. Mais c'est à Leonardo Pisano (1175-1250) appelé Fibonacci, que l'on
doit l'utilisation régulière de ces chiffres.
Des lapins au nombre d’or
C'est pour calculer la descendance régulière d'une famille de lapins que Fibonacci a défini sa
fameuse suite : partant de deux nombres, o et 1 par exemple, on forme le suivant par addition
des deux précédents : O 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89... Il est possible de montrer qu'à un
ordre élevé, le rapport de deux nombres consécutifs est égal à (p.
Une remarque utile
Il est aisé d'obtenir une valeur proche de (p en remarquant que 8/5 = 1,6. Beaucoup de créateurs
s'en servent sans passer par la valeur exacte de 1,618.
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histoire du nombre d’or cp
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La première apparition de ce qui allait plus tard être appelé
le «nombre d'or» se trouve définie implicitement dans le
Livre XIII des Éléments d'Euclide, lors de l'étude du pentagone
régulier. Le problème posé est le suivant comment partager
un segment en deux parties, selon « l'extrême et moyenne raison » ? En d'autres termes, soit un segment AC et F entre ces
points, comment placer F pour que l'on ait : AC/AF = AF/FC. La
solution relève du génie d'Euclide.
Considérons le pentagone inscrit dans un cercle. Les triangles
ABC et BFC sont isocèles et semblables d'où l'on tire : AC/AF = AF/FC. Nous pouvons calculer
ce rapport qui nous donne la valeur du nombre d'or (p. En considérant des segments orientés,
nous obtenons l'équation AC^ - AC-AF - AF^ = o. En divisant l'expression par AF^ et en posant
AC/AF = X , nous déduisons l'équation x^ - x - i = o dont les racines sont ; x = (iiVs)/^ . Dans
notre cas de figure nous obtenons AC/AF = 1,61810339887..., généralement tronqué à 1,618,
valeur usuelle de (p. L'autre racine est (p' = 0,618. (Il est aisé de vérifier que (p-(p' = 1). Il existe à
ce jour des milliers de traités relatifs au nombre d'or et à ses propriétés esthétiques. Gardons
la tête froide, en dernier recours, il appartient à chacun de s'en faire une idée...
L’introduction des chiffres indo-arabes
Tout en utilisant les relations de proportion qui le définissent, Euclide n'a pas calculé le
nombre (p. Un tel calcul numérique n'est possible qu'avec l'utilisation des nombres réels et l'utilisation des chiffres indo-arabes dans les écrits occidentaux ne date que des environs de l'an
1000. On en trouve la première apparition dans le Codex Vigilianus, apparu en 976 au monastère de Saint-Martin d'Albeda, appartenant alors au royaume de Pampelune. On attribue cette
utilisation à l'influence de Gerbert d'Aurillac, (vers 950-1003) qui devint pape sous le nom de
Sylvestre II, de 999 à 1003. Mais c'est à Leonardo Pisano (1175-1250) appelé Fibonacci, que l'on
doit l'utilisation régulière de ces chiffres.
Des lapins au nombre d’or
C'est pour calculer la descendance régulière d'une famille de lapins que Fibonacci a défini sa
fameuse suite : partant de deux nombres, o et 1 par exemple, on forme le suivant par addition
des deux précédents : O 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89... Il est possible de montrer qu'à un
ordre élevé, le rapport de deux nombres consécutifs est égal à (p.
Une remarque utile
Il est aisé d'obtenir une valeur proche de (p en remarquant que 8/5 = 1,6. Beaucoup de créateurs
s'en servent sans passer par la valeur exacte de 1,618.
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